Страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

589. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $(c_n)$, если:

a) $c_5 = 27, c_{27} = 60;$

б) $c_{20} = 0, c_{66} = -92.$

а)

Для нахождения первого члена $c_1$ и разности $d$ арифметической прогрессии ($c_n$) воспользуемся формулой n-го члена: $c_n = c_1 + (n-1)d$.

По условию задачи даны два члена прогрессии: $c_5 = 27$ и $c_{27} = 60$.

Составим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $c_1$ и $d$:

$\begin{cases} c_5 = c_1 + (5-1)d \\ c_{27} = c_1 + (27-1)d \end{cases}$

Подставим известные значения в систему:

$\begin{cases} 27 = c_1 + 4d \\ 60 = c_1 + 26d \end{cases}$

Чтобы найти разность $d$, вычтем первое уравнение из второго:

$(c_1 + 26d) - (c_1 + 4d) = 60 - 27$

$c_1 + 26d - c_1 - 4d = 33$

$22d = 33$

$d = \frac{33}{22} = \frac{3}{2} = 1.5$

Теперь, зная разность $d$, найдем первый член $c_1$. Для этого подставим значение $d$ в первое уравнение системы ($27 = c_1 + 4d$):

$27 = c_1 + 4 \cdot 1.5$

$27 = c_1 + 6$

$c_1 = 27 - 6$

$c_1 = 21$

Ответ: первый член $c_1 = 21$, разность $d = 1.5$.

б)

Аналогично первому пункту, используем данные $c_{20} = 0$ и $c_{66} = -92$ и формулу n-го члена арифметической прогрессии $c_n = c_1 + (n-1)d$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} c_{20} = c_1 + (20-1)d \\ c_{66} = c_1 + (66-1)d \end{cases}$

Подставим известные значения:

$\begin{cases} 0 = c_1 + 19d \\ -92 = c_1 + 65d \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти разность $d$:

$(c_1 + 65d) - (c_1 + 19d) = -92 - 0$

$c_1 + 65d - c_1 - 19d = -92$

$46d = -92$

$d = \frac{-92}{46} = -2$

Теперь найдем первый член $c_1$, подставив найденное значение $d$ в первое уравнение системы ($0 = c_1 + 19d$):

$0 = c_1 + 19 \cdot (-2)$

$0 = c_1 - 38$

$c_1 = 38$

Ответ: первый член $c_1 = 38$, разность $d = -2$.

590. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $(x_n)$, если $x_{16} = -7$ и $x_{26} = 55$.

Для нахождения первого члена и разности арифметической прогрессии $(x_n)$ воспользуемся общей формулой n-го члена: $x_n = x_1 + (n-1)d$, где $x_1$ — это первый член, а $d$ — разность прогрессии.

По условию задачи нам известны два члена прогрессии: $x_{16} = -7$ и $x_{26} = 55$. Используя эти данные, мы можем составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $x_1$ и $d$.

1. Для $n = 16$:
$x_{16} = x_1 + (16 - 1)d = x_1 + 15d$
$x_1 + 15d = -7$

2. Для $n = 26$:
$x_{26} = x_1 + (26 - 1)d = x_1 + 25d$
$x_1 + 25d = 55$

Получаем следующую систему уравнений:

$\begin{cases} x_1 + 15d = -7 \\ x_1 + 25d = 55 \end{cases}$

Чтобы найти разность $d$, вычтем первое уравнение из второго:

$(x_1 + 25d) - (x_1 + 15d) = 55 - (-7)$
$x_1 + 25d - x_1 - 15d = 55 + 7$
$10d = 62$
$d = \frac{62}{10} = 6.2$

Теперь, зная разность $d = 6.2$, мы можем найти первый член $x_1$. Для этого подставим значение $d$ в любое из двух уравнений. Воспользуемся первым уравнением:

$x_1 + 15d = -7$
$x_1 + 15 \cdot 6.2 = -7$
$x_1 + 93 = -7$
$x_1 = -7 - 93$
$x_1 = -100$

Проверим результат, подставив найденные значения $x_1$ и $d$ во второе уравнение:

$x_1 + 25d = -100 + 25 \cdot 6.2 = -100 + 155 = 55$
$55 = 55$. Результат верный.

Ответ: первый член прогрессии $x_1 = -100$, разность прогрессии $d = 6.2$.

591. Содержит ли арифметическая прогрессия $2; 9; \dots$ число:

a) 156;

б) 295?

Дана арифметическая прогрессия. Чтобы определить, принадлежит ли ей некоторое число, нужно сначала найти её параметры: первый член и разность. Первый член прогрессии, $a_1$, нам известен: $a_1 = 2$. Второй член прогрессии также известен: $a_2 = 9$. Разность арифметической прогрессии, $d$, можно найти как разницу между последующим и предыдущим членами: $d = a_2 - a_1 = 9 - 2 = 7$.

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии выглядит так: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Число является членом прогрессии, если для него можно найти такой номер $n$, который будет натуральным числом (т.е. 1, 2, 3, ...).

а) Проверим, содержит ли прогрессия число 156.
Предположим, что 156 — это n-й член прогрессии, то есть $a_n = 156$. Подставим известные значения в формулу: $156 = 2 + (n-1) \cdot 7$
Теперь решим это уравнение относительно $n$: $156 - 2 = (n-1) \cdot 7$ $154 = (n-1) \cdot 7$ $n-1 = \frac{154}{7}$ $n-1 = 22$ $n = 22 + 1$ $n = 23$
Поскольку мы получили натуральное число $n=23$, это означает, что число 156 является 23-м членом данной прогрессии.
Ответ: да, содержит.

б) Проверим, содержит ли прогрессия число 295.
Предположим, что 295 — это n-й член прогрессии, то есть $a_n = 295$. Подставим значения в формулу: $295 = 2 + (n-1) \cdot 7$
Решим уравнение относительно $n$: $295 - 2 = (n-1) \cdot 7$ $293 = (n-1) \cdot 7$ $n-1 = \frac{293}{7}$
При делении 293 на 7 мы не получаем целое число: $293 = 7 \cdot 41 + 6$. $n-1 = 41\frac{6}{7}$
Так как номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, а в данном случае $n = 41\frac{6}{7} + 1 = 42\frac{6}{7}$ является дробным числом, то 295 не может быть членом этой арифметической прогрессии.
Ответ: нет, не содержит.

592. Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, у которой $a_1=32$ и $d=-1.5$. Является ли членом этой прогрессии число:

а) $0$;

б) $-28$?

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, у которой первый член $a_1 = 32$ и разность $d = -1.5$.

Чтобы проверить, является ли заданное число членом этой прогрессии, необходимо подставить его в формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ и найти номер члена $n$. Если $n$ окажется натуральным числом (целым и положительным), то число является членом прогрессии.

а) Проверим число 0.

Подставим $a_n = 0$, $a_1 = 32$ и $d = -1.5$ в формулу:

$0 = 32 + (n-1) \cdot (-1.5)$

Решим полученное уравнение относительно $n$:

$0 = 32 - 1.5n + 1.5$

$0 = 33.5 - 1.5n$

$1.5n = 33.5$

$n = \frac{33.5}{1.5} = \frac{335}{15} = \frac{67}{3}$

Полученное значение $n = \frac{67}{3} = 22\frac{1}{3}$ не является натуральным числом, следовательно, число 0 не является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: нет.

б) Проверим число -28.

Подставим $a_n = -28$, $a_1 = 32$ и $d = -1.5$ в формулу:

$-28 = 32 + (n-1) \cdot (-1.5)$

Решим полученное уравнение относительно $n$:

$-28 = 32 - 1.5n + 1.5$

$-28 = 33.5 - 1.5n$

$1.5n = 33.5 + 28$

$1.5n = 61.5$

$n = \frac{61.5}{1.5} = \frac{615}{15} = 41$

Полученное значение $n = 41$ является натуральным числом. Это означает, что число -28 является 41-м членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: да.

593. В арифметической прогрессии ($x_n$) первый член равен 8,7, а разность равна $-0,3$. Для каких членов прогрессии выполняется условие:

а) $x_n \ge 0$;

б) $x_n < 0$?

Дана арифметическая прогрессия $(x_n)$, в которой первый член $x_1 = 8.7$ и разность $d = -0.3$.

Формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:

$x_n = x_1 + (n-1)d$

Подставим в эту формулу заданные значения $x_1$ и $d$:

$x_n = 8.7 + (n-1)(-0.3)$

Упростим выражение:

$x_n = 8.7 - 0.3n + 0.3$

$x_n = 9 - 0.3n$

Теперь, используя полученную формулу, найдем, для каких номеров $n$ выполняются заданные условия.

а) $x_n \ge 0$

Решим неравенство относительно $n$:

$9 - 0.3n \ge 0$

Перенесем $0.3n$ в правую часть:

$9 \ge 0.3n$

Разделим обе части неравенства на $0.3$:

$\frac{9}{0.3} \ge n$

$30 \ge n$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом ($n \ge 1$), условие выполняется для всех натуральных $n$ от 1 до 30 включительно.

Ответ: при $1 \le n \le 30$.

б) $x_n < 0$

Решим неравенство относительно $n$:

$9 - 0.3n < 0$

Перенесем $0.3n$ в правую часть:

$9 < 0.3n$

Разделим обе части неравенства на $0.3$:

$\frac{9}{0.3} < n$

$30 < n$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ является натуральным числом, этому условию удовлетворяют все натуральные числа, большие 30, то есть начиная с 31.

Ответ: при $n > 30$ (или $n \ge 31$).

594. Найдите номера отрицательных членов арифметической прогрессии $-20,3$; $-18,7$; ... . Чему равен первый положительный член этой прогрессии?

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, у которой первый член $a_1 = -20.3$ и второй член $a_2 = -18.7$.

Сначала найдем разность арифметической прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = -18.7 - (-20.3) = -18.7 + 20.3 = 1.6$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения, чтобы получить формулу для данной прогрессии: $a_n = -20.3 + (n-1) \cdot 1.6$.

Найдите номера отрицательных членов арифметической прогрессии

Чтобы найти номера отрицательных членов прогрессии, необходимо решить неравенство $a_n < 0$, где $n$ – натуральное число.
$-20.3 + (n-1) \cdot 1.6 < 0$
$1.6(n-1) < 20.3$
$n-1 < \frac{20.3}{1.6}$
$n-1 < 12.6875$
$n < 13.6875$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, то отрицательными будут все члены, номера которых меньше 13.6875. Это члены с 1-го по 13-й включительно.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

Чему равен первый положительный член этой прогрессии?

Первый положительный член прогрессии будет следовать за последним отрицательным членом. Так как 13-й член является последним отрицательным, то первым положительным будет 14-й член.

Для проверки найдем наименьшее натуральное $n$, для которого выполняется неравенство $a_n > 0$:
$-20.3 + (n-1) \cdot 1.6 > 0$
$1.6(n-1) > 20.3$
$n-1 > 12.6875$
$n > 13.6875$

Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 14. Следовательно, первый положительный член – это $a_{14}$.

Вычислим его значение:
$a_{14} = a_1 + (14-1)d = -20.3 + 13 \cdot 1.6$
$a_{14} = -20.3 + 20.8$
$a_{14} = 0.5$

Ответ: 0,5.

595. Докажите, что если числа $a, b, c$ являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа $a^2 + ab + b^2$, $a^2 + ac + c^2$ и $b^2 + bc + c^2$ также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Пусть числа $a$, $b$, $c$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. По характеристическому свойству арифметической прогрессии для трех последовательных членов выполняется равенство: $b - a = c - b$, что эквивалентно $2b = a + c$.

Нам нужно доказать, что числа $x_1 = a^2 + ab + b^2$, $x_2 = a^2 + ac + c^2$ и $x_3 = b^2 + bc + c^2$ также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. Для этого достаточно показать, что разность между вторым и первым членами равна разности между третьим и вторым членами, то есть $x_2 - x_1 = x_3 - x_2$.

Найдем разность между вторым и первым членами:

$x_2 - x_1 = (a^2 + ac + c^2) - (a^2 + ab + b^2) = a^2 + ac + c^2 - a^2 - ab - b^2$

Сгруппируем слагаемые:

$x_2 - x_1 = (ac - ab) + (c^2 - b^2) = a(c - b) + (c - b)(c + b)$

Вынесем общий множитель $(c - b)$:

$x_2 - x_1 = (c - b)(a + c + b)$

Теперь найдем разность между третьим и вторым членами:

$x_3 - x_2 = (b^2 + bc + c^2) - (a^2 + ac + c^2) = b^2 + bc + c^2 - a^2 - ac - c^2$

Сгруппируем слагаемые:

$x_3 - x_2 = (b^2 - a^2) + (bc - ac) = (b - a)(b + a) + c(b - a)$

Вынесем общий множитель $(b - a)$:

$x_3 - x_2 = (b - a)(b + a + c)$

Мы получили выражения для разностей:

$x_2 - x_1 = (c - b)(a + b + c)$

$x_3 - x_2 = (b - a)(a + b + c)$

Поскольку $a, b, c$ — последовательные члены арифметической прогрессии, то по определению $c - b = b - a$. Следовательно, правые части полученных равенств равны, а значит, равны и левые части:

$x_2 - x_1 = x_3 - x_2$

Это доказывает, что числа $a^2 + ab + b^2$, $a^2 + ac + c^2$ и $b^2 + bc + c^2$ образуют арифметическую прогрессию. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

596. Известно, что числа $a^2, b^2, c^2$ — последовательные члены арифметической прогрессии. Докажите, что числа $\frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b}$ также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

По условию, числа $a^2$, $b^2$, $c^2$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. По определению арифметической прогрессии, это означает, что разность между последующим и предыдущим членами постоянна. Для трех последовательных членов это равносильно тому, что средний член является средним арифметическим крайних членов: $$b^2 = \frac{a^2 + c^2}{2}$$ Или, что то же самое: $$2b^2 = a^2 + c^2$$ Это равенство можно переписать в виде $b^2 - a^2 = c^2 - b^2$ и, применив формулу разности квадратов, получить: $$(b-a)(b+a) = (c-b)(c+b) \quad (1)$$

Теперь нам нужно доказать, что числа $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$, $\frac{1}{a+b}$ также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. Для этого достаточно показать, что разность между вторым и первым членами равна разности между третьим и вторым членами, то есть: $$\frac{1}{a+c} - \frac{1}{b+c} = \frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+c}$$

Преобразуем левую и правую части этого равенства, приводя дроби в каждой части к общему знаменателю.
Левая часть: $$\frac{1}{a+c} - \frac{1}{b+c} = \frac{(b+c) - (a+c)}{(a+c)(b+c)} = \frac{b-a}{(a+c)(b+c)}$$ Правая часть: $$\frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+c} = \frac{(a+c) - (a+b)}{(a+b)(a+c)} = \frac{c-b}{(a+b)(a+c)}$$

Таким образом, наше доказательство сводится к проверке истинности равенства: $$\frac{b-a}{(a+c)(b+c)} = \frac{c-b}{(a+b)(a+c)}$$ Предполагая, что $a, b, c$ таковы, что знаменатели не равны нулю (что необходимо для существования исходных дробей), мы можем умножить обе части равенства на $(a+b)(b+c)(a+c)$: $$(b-a)(a+b) = (c-b)(b+c)$$

Используя формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, получаем: $$b^2 - a^2 = c^2 - b^2$$

Это равенство является исходным условием того, что числа $a^2$, $b^2$, $c^2$ образуют арифметическую прогрессию. Поскольку все наши преобразования были равносильными (эквивалентными), мы доказали, что из условия задачи следует, что числа $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$, $\frac{1}{a+b}$ также являются последовательными членами арифметической прогрессии. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

597. Найдите ошибку в рассуждениях:

а) так как арифметическая прогрессия задана формулой $a_n = 3n + 1$, то первый её член равен 1, а разность равна 3;

б) так как арифметическая прогрессия задана формулой $a_n = n^3 + 1$, то первый её член равен 2, а разность равна 7.

а) В данном рассуждении ошибка заключается в неверном определении первого члена прогрессии. Последовательность, заданная формулой общего члена $a_n = 3n + 1$, действительно является арифметической прогрессией. Это можно проверить, найдя разность $d$ между соседними членами:

$d = a_{n+1} - a_n = (3(n+1) + 1) - (3n + 1) = 3n + 3 + 1 - 3n - 1 = 3$.

Разность постоянна и равна 3, что совпадает с утверждением в задаче. Однако первый член прогрессии $a_1$ находится подстановкой $n=1$ в формулу:

$a_1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4$.

В рассуждении же утверждается, что первый член равен 1. Это неверно.

Ответ: Ошибка в том, что первый член прогрессии равен 4, а не 1.

б) Основная ошибка в этом рассуждении заключается в том, что последовательность, заданная формулой $a_n = n^3 + 1$, в принципе не является арифметической прогрессией. По определению, в арифметической прогрессии разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом должна быть постоянной.

Давайте вычислим несколько первых членов этой последовательности:

$a_1 = 1^3 + 1 = 2$

$a_2 = 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9$

$a_3 = 3^3 + 1 = 27 + 1 = 28$

Теперь найдем разности между соседними членами:

$d_1 = a_2 - a_1 = 9 - 2 = 7$

$d_2 = a_3 - a_2 = 28 - 9 = 19$

Поскольку разности между соседними членами не равны ($d_1 \neq d_2$), эта последовательность не является арифметической прогрессией. Хотя первый член действительно равен 2 и разность между вторым и первым членами равна 7, нельзя утверждать, что это арифметическая прогрессия с разностью 7.

Ответ: Ошибка в том, что последовательность, заданная формулой $a_n = n^3 + 1$, не является арифметической прогрессией.

598. Докажите, что последовательность сумм внутренних углов треугольника, выпуклого четырёхугольника, выпуклого пятиугольника и т. д. является арифметической прогрессией. Чему равна её разность?

Докажите, что последовательность сумм внутренних углов треугольника, выпуклого четырёхугольника, выпуклого пятиугольника и т. д. является арифметической прогрессией.

Сумма внутренних углов выпуклого $n$-угольника (многоугольника с $n$ сторонами) вычисляется по формуле:

$S_n = (n - 2) \cdot 180^{\circ}$

где $n \geq 3$.

Рассматриваемая в задаче последовательность — это последовательность значений $S_n$ для $n=3, 4, 5, \dots$. Первыми членами этой последовательности являются:

• Сумма углов треугольника ($n=3$): $S_3 = (3-2) \cdot 180^{\circ} = 180^{\circ}$
• Сумма углов выпуклого четырёхугольника ($n=4$): $S_4 = (4-2) \cdot 180^{\circ} = 360^{\circ}$
• Сумма углов выпуклого пятиугольника ($n=5$): $S_5 = (5-2) \cdot 180^{\circ} = 540^{\circ}$

и так далее.

Чтобы доказать, что эта последовательность является арифметической прогрессией, нужно показать, что разность между любым её последующим и предыдущим членами является постоянной величиной (константой).

Возьмём два произвольных соседних члена последовательности. Один соответствует $n$-угольнику (сумма углов $S_n$), а следующий за ним — $(n+1)$-угольнику (сумма углов $S_{n+1}$).

$S_n = (n - 2) \cdot 180^{\circ}$

$S_{n+1} = ((n+1) - 2) \cdot 180^{\circ} = (n - 1) \cdot 180^{\circ}$

Найдём разность $d$ между ними:

$d = S_{n+1} - S_n = (n - 1) \cdot 180^{\circ} - (n - 2) \cdot 180^{\circ}$

$d = ( (n-1) - (n-2) ) \cdot 180^{\circ} = (n - 1 - n + 2) \cdot 180^{\circ} = 1 \cdot 180^{\circ} = 180^{\circ}$

Так как разность $d = 180^{\circ}$ является постоянной величиной и не зависит от $n$ (количества сторон многоугольника), то данная последовательность по определению является арифметической прогрессией. Что и требовалось доказать.

Чему равна её разность?

Разность этой арифметической прогрессии была найдена в ходе доказательства. Она представляет собой постоянную разность между суммами углов $(n+1)$-угольника и $n$-угольника. Эта разность равна $180^{\circ}$.

Ответ: Разность арифметической прогрессии равна $180^{\circ}$.

599. Решите систему уравнений

$\begin{cases}3x + y = 2, \\x^2 - y^2 = -12.\end{cases}$

Решим данную систему уравнений методом подстановки:

$ \begin{cases} 3x + y = 2, \\ x^2 - y^2 = -12. \end{cases} $

Из первого, линейного, уравнения системы выразим переменную $y$ через $x$:

$3x + y = 2 \implies y = 2 - 3x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе, нелинейное, уравнение системы:

$x^2 - (2 - 3x)^2 = -12$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - (2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3x + (3x)^2) = -12$

$x^2 - (4 - 12x + 9x^2) = -12$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4 + 12x - 9x^2 = -12$

$(x^2 - 9x^2) + 12x - 4 = -12$

$-8x^2 + 12x - 4 = -12$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$-8x^2 + 12x - 4 + 12 = 0$

$-8x^2 + 12x + 8 = 0$

Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на общий делитель -4:

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного значения $x$, подставив их в выражение $y = 2 - 3x$.

Для $x_1 = 2$:

$y_1 = 2 - 3 \cdot 2 = 2 - 6 = -4$

Первая пара решений: $(2; -4)$.

Для $x_2 = -\frac{1}{2}$:

$y_2 = 2 - 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$

Вторая пара решений: $(-\frac{1}{2}; \frac{7}{2})$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(2; -4)$, $(-\frac{1}{2}; \frac{7}{2})$.