Страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

565. Найдите первые шесть членов последовательности, заданной формулой n-го члена:

а) $x_n = 2n - 1;$

б) $x_n = n^2 + 1;$

в) $x_n = \frac{n}{n+1};$

г) $x_n = (-1)^{n+1} \cdot 2;$

д) $x_n = 2^{n-3};$

е) $x_n = 0,5 \cdot 4^n.$

а) Для нахождения первых шести членов последовательности, заданной формулой $x_n = 2n - 1$, подставим в нее значения $n$ от 1 до 6:
$x_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$
$x_2 = 2 \cdot 2 - 1 = 3$
$x_3 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$
$x_4 = 2 \cdot 4 - 1 = 7$
$x_5 = 2 \cdot 5 - 1 = 9$
$x_6 = 2 \cdot 6 - 1 = 11$
Ответ: 1, 3, 5, 7, 9, 11.

б) Для нахождения первых шести членов последовательности, заданной формулой $x_n = n^2 + 1$, подставим в нее значения $n$ от 1 до 6:
$x_1 = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$
$x_2 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$
$x_3 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$
$x_4 = 4^2 + 1 = 16 + 1 = 17$
$x_5 = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$
$x_6 = 6^2 + 1 = 36 + 1 = 37$
Ответ: 2, 5, 10, 17, 26, 37.

в) Для нахождения первых шести членов последовательности, заданной формулой $x_n = \frac{n}{n+1}$, подставим в нее значения $n$ от 1 до 6:
$x_1 = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$
$x_3 = \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$
$x_4 = \frac{4}{4+1} = \frac{4}{5}$
$x_5 = \frac{5}{5+1} = \frac{5}{6}$
$x_6 = \frac{6}{6+1} = \frac{6}{7}$
Ответ: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}$.

г) Для нахождения первых шести членов последовательности, заданной формулой $x_n = (-1)^{n+1} \cdot 2$, подставим в нее значения $n$ от 1 до 6:
$x_1 = (-1)^{1+1} \cdot 2 = (-1)^2 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$
$x_2 = (-1)^{2+1} \cdot 2 = (-1)^3 \cdot 2 = -1 \cdot 2 = -2$
$x_3 = (-1)^{3+1} \cdot 2 = (-1)^4 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$
$x_4 = (-1)^{4+1} \cdot 2 = (-1)^5 \cdot 2 = -1 \cdot 2 = -2$
$x_5 = (-1)^{5+1} \cdot 2 = (-1)^6 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$
$x_6 = (-1)^{6+1} \cdot 2 = (-1)^7 \cdot 2 = -1 \cdot 2 = -2$
Ответ: 2, -2, 2, -2, 2, -2.

д) Для нахождения первых шести членов последовательности, заданной формулой $x_n = 2^{n-3}$, подставим в нее значения $n$ от 1 до 6:
$x_1 = 2^{1-3} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$
$x_2 = 2^{2-3} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
$x_3 = 2^{3-3} = 2^0 = 1$
$x_4 = 2^{4-3} = 2^1 = 2$
$x_5 = 2^{5-3} = 2^2 = 4$
$x_6 = 2^{6-3} = 2^3 = 8$
Ответ: $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$.

е) Для нахождения первых шести членов последовательности, заданной формулой $x_n = 0,5 \cdot 4^n$, подставим в нее значения $n$ от 1 до 6:
$x_1 = 0,5 \cdot 4^1 = 0,5 \cdot 4 = 2$
$x_2 = 0,5 \cdot 4^2 = 0,5 \cdot 16 = 8$
$x_3 = 0,5 \cdot 4^3 = 0,5 \cdot 64 = 32$
$x_4 = 0,5 \cdot 4^4 = 0,5 \cdot 256 = 128$
$x_5 = 0,5 \cdot 4^5 = 0,5 \cdot 1024 = 512$
$x_6 = 0,5 \cdot 4^6 = 0,5 \cdot 4096 = 2048$
Ответ: 2, 8, 32, 128, 512, 2048.

566. Последовательность $(b_n)$ задана формулой $b_n = 2n^2 + 3n$. Найдите:

а) $b_5$;

б) $b_{10}$;

в) $b_{50}$.

Для того чтобы найти члены последовательности ($b_n$), заданной формулой $b_n = 2n^2 + 3n$, необходимо подставить соответствующий номер члена последовательности $n$ в данную формулу.

а) Найдем пятый член последовательности $b_5$. Для этого подставим $n=5$ в формулу:
$b_5 = 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5 = 2 \cdot 25 + 15 = 50 + 15 = 65$.
Ответ: 65

б) Найдем десятый член последовательности $b_{10}$. Для этого подставим $n=10$ в формулу:
$b_{10} = 2 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10 = 2 \cdot 100 + 30 = 200 + 30 = 230$.
Ответ: 230

в) Найдем пятидесятый член последовательности $b_{50}$. Для этого подставим $n=50$ в формулу:
$b_{50} = 2 \cdot 50^2 + 3 \cdot 50 = 2 \cdot 2500 + 150 = 5000 + 150 = 5150$.
Ответ: 5150

567. Последовательность $(a_n)$ задана формулой $a_n = n^2 - n - 20$. Укажите номера отрицательных членов последовательности и вычислите эти члены.

Последовательность задана формулой $a_n = n^2 - n - 20$. Чтобы найти отрицательные члены последовательности, необходимо найти все натуральные номера $n$, для которых выполняется неравенство $a_n < 0$.

Составим и решим это неравенство:

$n^2 - n - 20 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - n - 20 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$n_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = -4$

$n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = 5$

Квадратный трехчлен $n^2 - n - 20$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $n^2$ положителен). Следовательно, значения трехчлена отрицательны на интервале между его корнями.

Таким образом, решение неравенства $n^2 - n - 20 < 0$ есть интервал $-4 < n < 5$.

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Найдем все натуральные числа, которые принадлежат интервалу $(-4, 5)$:

$n = 1, 2, 3, 4$

Это и есть номера отрицательных членов последовательности.

Теперь вычислим значения этих членов, подставляя найденные номера в исходную формулу $a_n = n^2 - n - 20$:

• При $n=1$: $a_1 = 1^2 - 1 - 20 = 1 - 1 - 20 = -20$
• При $n=2$: $a_2 = 2^2 - 2 - 20 = 4 - 2 - 20 = -18$
• При $n=3$: $a_3 = 3^2 - 3 - 20 = 9 - 3 - 20 = -14$
• При $n=4$: $a_4 = 4^2 - 4 - 20 = 16 - 4 - 20 = -8$

Для проверки можно вычислить $a_5 = 5^2 - 5 - 20 = 25 - 5 - 20 = 0$, что не является отрицательным числом.

Ответ: Номера отрицательных членов последовательности: 1, 2, 3, 4. Значения этих членов: $a_1 = -20$, $a_2 = -18$, $a_3 = -14$, $a_4 = -8$.

568. Вычислите второй, третий, четвёртый и пятый члены последовательности ($b_n$), если известно, что:

а) первый член равен 10, а каждый следующий на 3 больше предыдущего, т. е. $b_1 = 10$ и $b_{n+1} = b_n + 3$;

б) первый член равен 40, а каждый следующий равен предыдущему, делённому на 2, т. е. $b_1 = 40$ и $b_{n+1} = \frac{b_n}{2}$.

а)

По условию, первый член последовательности $b_1 = 10$, а каждый следующий член на 3 больше предыдущего. Это рекуррентное соотношение можно записать в виде формулы: $b_{n+1} = b_n + 3$. Нам нужно вычислить второй, третий, четвёртый и пятый члены последовательности.

1. Вычислим второй член ($b_2$), используя значение первого члена ($b_1$):
$b_2 = b_1 + 3 = 10 + 3 = 13$.

2. Вычислим третий член ($b_3$), используя найденное значение второго члена ($b_2$):
$b_3 = b_2 + 3 = 13 + 3 = 16$.

3. Вычислим четвёртый член ($b_4$), используя найденное значение третьего члена ($b_3$):
$b_4 = b_3 + 3 = 16 + 3 = 19$.

4. Вычислим пятый член ($b_5$), используя найденное значение четвёртого члена ($b_4$):
$b_5 = b_4 + 3 = 19 + 3 = 22$.

Ответ: $b_2 = 13, b_3 = 16, b_4 = 19, b_5 = 22$.

б)

По условию, первый член последовательности $b_1 = 40$, а каждый следующий член равен предыдущему, делённому на 2. Это рекуррентное соотношение можно записать в виде формулы: $b_{n+1} = \frac{b_n}{2}$. Нам нужно вычислить второй, третий, четвёртый и пятый члены последовательности.

1. Вычислим второй член ($b_2$), используя значение первого члена ($b_1$):
$b_2 = \frac{b_1}{2} = \frac{40}{2} = 20$.

2. Вычислим третий член ($b_3$), используя найденное значение второго члена ($b_2$):
$b_3 = \frac{b_2}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

3. Вычислим четвёртый член ($b_4$), используя найденное значение третьего члена ($b_3$):
$b_4 = \frac{b_3}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

4. Вычислим пятый член ($b_5$), используя найденное значение четвёртого члена ($b_4$):
$b_5 = \frac{b_4}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$.

Ответ: $b_2 = 20, b_3 = 10, b_4 = 5, b_5 = 2,5$.

569. Выпишите первые пять членов последовательности ($a_n$), если:

а) $a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 1;$

б) $a_1 = 1000, a_{n+1} = 0.1a_n;$

в) $a_1 = 16, a_{n+1} = -0.5a_n;$

г) $a_1 = 3, a_{n+1} = a_n^{-1}.$

а) Дана последовательность, в которой первый член $a_1 = 1$ и каждый последующий член находится по рекуррентной формуле $a_{n+1} = a_n + 1$. Эта последовательность является арифметической прогрессией с первым членом 1 и разностью 1. Найдем первые пять членов последовательности, последовательно вычисляя каждый следующий член через предыдущий.

Первый член задан: $a_1 = 1$.
Второй член (при n=1): $a_2 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$.
Третий член (при n=2): $a_3 = a_2 + 1 = 2 + 1 = 3$.
Четвертый член (при n=3): $a_4 = a_3 + 1 = 3 + 1 = 4$.
Пятый член (при n=4): $a_5 = a_4 + 1 = 4 + 1 = 5$.
Первые пять членов последовательности: 1, 2, 3, 4, 5.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.

б) Дана последовательность, в которой первый член $a_1 = 1000$ и каждый последующий член находится по рекуррентной формуле $a_{n+1} = 0,1a_n$. Эта последовательность является геометрической прогрессией с первым членом 1000 и знаменателем 0,1. Найдем первые пять членов.

Первый член задан: $a_1 = 1000$.
Второй член (при n=1): $a_2 = 0,1 \cdot a_1 = 0,1 \cdot 1000 = 100$.
Третий член (при n=2): $a_3 = 0,1 \cdot a_2 = 0,1 \cdot 100 = 10$.
Четвертый член (при n=3): $a_4 = 0,1 \cdot a_3 = 0,1 \cdot 10 = 1$.
Пятый член (при n=4): $a_5 = 0,1 \cdot a_4 = 0,1 \cdot 1 = 0,1$.
Первые пять членов последовательности: 1000, 100, 10, 1, 0,1.
Ответ: 1000, 100, 10, 1, 0,1.

в) Дана последовательность, в которой первый член $a_1 = 16$ и каждый последующий член находится по рекуррентной формуле $a_{n+1} = -0,5a_n$. Эта последовательность является геометрической прогрессией с первым членом 16 и знаменателем -0,5. Найдем первые пять членов.

Первый член задан: $a_1 = 16$.
Второй член (при n=1): $a_2 = -0,5 \cdot a_1 = -0,5 \cdot 16 = -8$.
Третий член (при n=2): $a_3 = -0,5 \cdot a_2 = -0,5 \cdot (-8) = 4$.
Четвертый член (при n=3): $a_4 = -0,5 \cdot a_3 = -0,5 \cdot 4 = -2$.
Пятый член (при n=4): $a_5 = -0,5 \cdot a_4 = -0,5 \cdot (-2) = 1$.
Первые пять членов последовательности: 16, -8, 4, -2, 1.
Ответ: 16, -8, 4, -2, 1.

г) Дана последовательность, в которой первый член $a_1 = 3$ и каждый последующий член находится по рекуррентной формуле $a_{n+1} = a_n^{-1}$, что эквивалентно $a_{n+1} = \frac{1}{a_n}$. Найдем первые пять членов.

Первый член задан: $a_1 = 3$.
Второй член (при n=1): $a_2 = a_1^{-1} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Третий член (при n=2): $a_3 = a_2^{-1} = (\frac{1}{3})^{-1} = 3$.
Четвертый член (при n=3): $a_4 = a_3^{-1} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Пятый член (при n=4): $a_5 = a_4^{-1} = (\frac{1}{3})^{-1} = 3$.
Видно, что члены последовательности чередуются. Первые пять членов: 3, $\frac{1}{3}$, 3, $\frac{1}{3}$, 3.
Ответ: 3, $\frac{1}{3}$, 3, $\frac{1}{3}$, 3.

570. Выпишите первые четыре члена последовательности $(b_n)$, если:

a) $b_1 = 5, b_{n+1} = b_n + 5;$

б) $b_1 = 5, b_{n+1} = b_n \cdot 5.$

а)

По условию дан первый член последовательности $b_1 = 5$. Каждый следующий член вычисляется по рекуррентной формуле $b_{n+1} = b_n + 5$. Данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d = 5$.

Найдем первые четыре члена последовательности:

Первый член: $b_1 = 5$.

Второй член (при $n=1$): $b_2 = b_1 + 5 = 5 + 5 = 10$.

Третий член (при $n=2$): $b_3 = b_2 + 5 = 10 + 5 = 15$.

Четвертый член (при $n=3$): $b_4 = b_3 + 5 = 15 + 5 = 20$.

Первые четыре члена последовательности: 5, 10, 15, 20.

Ответ: 5, 10, 15, 20.

б)

По условию дан первый член последовательности $b_1 = 5$. Каждый следующий член вычисляется по рекуррентной формуле $b_{n+1} = b_n \cdot 5$. Данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 5$.

Найдем первые четыре члена последовательности:

Первый член: $b_1 = 5$.

Второй член (при $n=1$): $b_2 = b_1 \cdot 5 = 5 \cdot 5 = 25$.

Третий член (при $n=2$): $b_3 = b_2 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$.

Четвертый член (при $n=3$): $b_4 = b_3 \cdot 5 = 125 \cdot 5 = 625$.

Первые четыре члена последовательности: 5, 25, 125, 625.

Ответ: 5, 25, 125, 625.

571. Найдите пару положительных чисел $x$ и $y$, удовлетворяющих уравнению $x^2 + y^2 = 45$, если известно, что $y$ вдвое больше $x$.

По условию задачи нам даны два утверждения, которые позволяют составить систему уравнений. Первое утверждение — это само уравнение: $x^2 + y^2 = 45$. Второе утверждение — это соотношение между переменными: y вдвое больше x. Его можно записать как $y = 2x$. Также в условии сказано, что x и y являются положительными числами ($x > 0$, $y > 0$).

Для решения подставим выражение для y из второго уравнения в первое:

$x^2 + (2x)^2 = 45$

Раскроем скобки и выполним сложение:

$x^2 + 4x^2 = 45$
$5x^2 = 45$

Теперь решим полученное уравнение относительно x. Разделим обе части уравнения на 5:

$x^2 = \frac{45}{5}$
$x^2 = 9$

Из этого уравнения следует, что x может принимать два значения:

$x = \sqrt{9} = 3$ или $x = -\sqrt{9} = -3$.

Поскольку по условию задачи x — положительное число, мы выбираем значение $x = 3$.

Теперь найдем соответствующее значение y, используя уравнение $y = 2x$:

$y = 2 \cdot 3 = 6$.

Таким образом, мы нашли пару положительных чисел: $x = 3$ и $y = 6$. Выполним проверку, подставив эти значения в исходное уравнение:

$3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$.

Так как $45 = 45$, равенство выполняется, и решение найдено верно.

Ответ: $x=3$, $y=6$.

572. Решите уравнение:

а) $4x^4 + 4x^2 - 15 = 0;$

б) $2x^4 - x^2 - 36 = 0.$

а) Решим биквадратное уравнение $4x^4 + 4x^2 - 15 = 0$.
Введем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Поскольку квадрат действительного числа всегда неотрицателен, должно выполняться условие $y \ge 0$.
После замены исходное уравнение примет вид квадратного уравнения:
$4y^2 + 4y - 15 = 0$
Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-15) = 16 + 240 = 256$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:
$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 16}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 16}{2 \cdot 4} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2}$
Теперь вернемся к замене и учтем условие $y \ge 0$.
Корень $y_1 = \frac{3}{2}$ удовлетворяет условию $y \ge 0$.
Корень $y_2 = -\frac{5}{2}$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, следовательно, он является посторонним.
Подставим подходящее значение $y$ в уравнение замены:
$x^2 = \frac{3}{2}$
$x = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$
Ответ: $\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$.

б) Решим биквадратное уравнение $2x^4 - x^2 - 36 = 0$.
Произведем замену переменной. Пусть $y = x^2$, где $y \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$2y^2 - y - 36 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-36) = 1 + 288 = 289$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + 17}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 17}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - 17}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 17}{4} = \frac{-16}{4} = -4$
Проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$.
Корень $y_1 = \frac{9}{2}$ удовлетворяет условию.
Корень $y_2 = -4$ не удовлетворяет условию, поэтому является посторонним.
Выполним обратную замену для $y_1$:
$x^2 = \frac{9}{2}$
$x = \pm\sqrt{\frac{9}{2}} = \pm\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}} = \pm\frac{3}{\sqrt{2}} = \pm\frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

573. Решите неравенство:

а) $x^2 + x - 42 \le 0$;

б) $(x + 11)(x + 4)(x - 1) > 0$.

а) $x^2 + x - 42 \le 0$

Для решения данного квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 42 = 0$. Это можно сделать с помощью теоремы Виета или через дискриминант.

Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Теперь мы можем разложить квадратный трехчлен на множители: $x^2 + x - 42 = (x + 7)(x - 6)$. Неравенство принимает вид: $(x + 7)(x - 6) \le 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим корни $x = -7$ и $x = 6$ на числовой прямой. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), точки будут закрашенными. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -7]$, $[-7, 6]$ и $[6, \infty)$. Графиком функции $y = x^2 + x - 42$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции меньше или равны нулю ($y \le 0$) на промежутке между корнями.

Таким образом, решение неравенства — это промежуток, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал от $-7$ до $6$ включительно.
Ответ: $x \in [-7, 6]$.

б) $(x + 11)(x + 4)(x - 1) > 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем нули (корни) выражения в левой части, приравняв каждый множитель к нулю:

$x + 11 = 0 \implies x_1 = -11$.
$x + 4 = 0 \implies x_2 = -4$.
$x - 1 = 0 \implies x_3 = 1$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Поскольку неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми (незакрашенными). Точки $-11, -4, 1$ разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty, -11)$, $(-11, -4)$, $(-4, 1)$ и $(1, \infty)$.

Определим знак выражения $(x + 11)(x + 4)(x - 1)$ в каждом интервале. Начнем с крайнего правого интервала.
- При $x \in (1, \infty)$ (например, $x = 2$): $(2 + 11)(2 + 4)(2 - 1)$ — произведение трех положительных чисел, результат положителен ($+$).
- Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться.
- При $x \in (-4, 1)$ знак будет отрицательным ($-$).
- При $x \in (-11, -4)$ знак будет положительным ($+$).
- При $x \in (-\infty, -11)$ знак будет отрицательным ($-$).

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (отмечены знаком "$+$"). Это интервалы $(-11, -4)$ и $(1, \infty)$.
Ответ: $x \in (-11, -4) \cup (1, \infty)$.

574. Представьте выражение в виде степени с основанием 3 и найдите его значение:

а) $81 \cdot 3^{-6}$;

б) $\frac{(-3^{-3})^3}{-9^{-2}}$;

в) $9^{-5} \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{-3}$;

г) $(-3^{-3})^2 \cdot 27^3$.

a) Чтобы представить выражение $81 \cdot 3^{-6}$ в виде степени с основанием 3, сначала представим число 81 как степень тройки.
Так как $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$, то $81 = 3^4$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$81 \cdot 3^{-6} = 3^4 \cdot 3^{-6}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (согласно свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$3^4 \cdot 3^{-6} = 3^{4 + (-6)} = 3^{4-6} = 3^{-2}$.
Это и есть выражение в виде степени с основанием 3.
Теперь найдем его значение:
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $3^{-2} = \frac{1}{9}$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{(-3^{-3})^3}{-9^{-2}}$.
Сначала упростим числитель $(-3^{-3})^3$. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (3) результат будет отрицательным. Далее используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(-3^{-3})^3 = -(3^{-3})^3 = -3^{-3 \cdot 3} = -3^{-9}$.
Теперь упростим знаменатель $-9^{-2}$. Представим 9 как $3^2$:
$-9^{-2} = -(3^2)^{-2} = -3^{2 \cdot (-2)} = -3^{-4}$.
Подставим упрощенные части обратно в дробь:
$\frac{-3^{-9}}{-3^{-4}}$.
Отрицательные знаки в числителе и знаменателе сокращаются. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются (согласно свойству $a^m / a^n = a^{m-n}$):
$\frac{3^{-9}}{3^{-4}} = 3^{-9 - (-4)} = 3^{-9+4} = 3^{-5}$.
Это выражение в виде степени с основанием 3.
Найдем его значение:
$3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$.
Ответ: $3^{-5} = \frac{1}{243}$.

в) Рассмотрим выражение $9^{-5} \cdot (\frac{1}{9})^{-3}$.
Представим все части выражения в виде степени с основанием 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$ и $\frac{1}{9} = 9^{-1} = (3^2)^{-1} = 3^{-2}$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$(3^2)^{-5} \cdot (3^{-2})^{-3}$.
Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ для обоих множителей:
$3^{2 \cdot (-5)} \cdot 3^{-2 \cdot (-3)} = 3^{-10} \cdot 3^{6}$.
Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^{-10 + 6} = 3^{-4}$.
Это выражение в виде степени с основанием 3.
Найдем его значение:
$3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$.
Ответ: $3^{-4} = \frac{1}{81}$.

г) Рассмотрим выражение $(-3^{-3})^2 \cdot 27^3$.
Упростим первый множитель $(-3^{-3})^2$. При возведении отрицательного числа в четную степень (2) результат будет положительным:
$(-3^{-3})^2 = (3^{-3})^2 = 3^{-3 \cdot 2} = 3^{-6}$.
Теперь упростим второй множитель $27^3$. Представим 27 как $3^3$:
$27^3 = (3^3)^3 = 3^{3 \cdot 3} = 3^9$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$3^{-6} \cdot 3^9$.
Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^{-6+9} = 3^3$.
Это выражение в виде степени с основанием 3.
Найдем его значение:
$3^3 = 27$.
Ответ: $3^3 = 27$.