Страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

575. Выпишите первые пять членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

а) $a_1 = 10, d = 4;$

б) $a_1 = 30, d = -10;$

в) $a_1 = 1,7, d = -0,2;$

г) $a_1 = -3,5, d = 0,6.$

Арифметическая прогрессия ($a_n$) — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену одного и того же числа $d$. Это число $d$ называется разностью арифметической прогрессии.

Для нахождения любого члена прогрессии используется формула: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность.

Чтобы найти следующий член, зная предыдущий, можно использовать рекуррентную формулу: $a_{n+1} = a_n + d$. Мы будем использовать эту формулу для последовательного нахождения первых пяти членов для каждого случая.

а) Дано: $a_1 = 10$, $d = 4$.
Первый член уже известен: $a_1 = 10$.
Второй член: $a_2 = a_1 + d = 10 + 4 = 14$.
Третий член: $a_3 = a_2 + d = 14 + 4 = 18$.
Четвертый член: $a_4 = a_3 + d = 18 + 4 = 22$.
Пятый член: $a_5 = a_4 + d = 22 + 4 = 26$.
Первые пять членов прогрессии: 10, 14, 18, 22, 26.
Ответ: 10, 14, 18, 22, 26.

б) Дано: $a_1 = 30$, $d = -10$.
Первый член: $a_1 = 30$.
Второй член: $a_2 = a_1 + d = 30 + (-10) = 20$.
Третий член: $a_3 = a_2 + d = 20 + (-10) = 10$.
Четвертый член: $a_4 = a_3 + d = 10 + (-10) = 0$.
Пятый член: $a_5 = a_4 + d = 0 + (-10) = -10$.
Первые пять членов прогрессии: 30, 20, 10, 0, -10.
Ответ: 30, 20, 10, 0, -10.

в) Дано: $a_1 = 1,7$, $d = -0,2$.
Первый член: $a_1 = 1,7$.
Второй член: $a_2 = a_1 + d = 1,7 + (-0,2) = 1,5$.
Третий член: $a_3 = a_2 + d = 1,5 + (-0,2) = 1,3$.
Четвертый член: $a_4 = a_3 + d = 1,3 + (-0,2) = 1,1$.
Пятый член: $a_5 = a_4 + d = 1,1 + (-0,2) = 0,9$.
Первые пять членов прогрессии: 1,7; 1,5; 1,3; 1,1; 0,9.
Ответ: 1,7; 1,5; 1,3; 1,1; 0,9.

г) Дано: $a_1 = -3,5$, $d = 0,6$.
Первый член: $a_1 = -3,5$.
Второй член: $a_2 = a_1 + d = -3,5 + 0,6 = -2,9$.
Третий член: $a_3 = a_2 + d = -2,9 + 0,6 = -2,3$.
Четвертый член: $a_4 = a_3 + d = -2,3 + 0,6 = -1,7$.
Пятый член: $a_5 = a_4 + d = -1,7 + 0,6 = -1,1$.
Первые пять членов прогрессии: -3,5; -2,9; -2,3; -1,7; -1,1.
Ответ: -3,5; -2,9; -2,3; -1,7; -1,1.

576. Последовательность $(b_n)$ — арифметическая прогрессия, первый член которой равен $b_1$, а разность равна $d$. Выразите че- рез $b_1$ и $d$:

а) $b_7$;

б) $b_{26}$;

в) $b_{231}$;

г) $b_k$;

д) $b_{k+5}$;

е) $b_{2k}$.

Для решения данной задачи используется формула n-го члена арифметической прогрессии, которая позволяет выразить любой член прогрессии $b_n$ через её первый член $b_1$ и разность $d$:

$b_n = b_1 + (n-1)d$

Здесь $n$ — это порядковый номер члена последовательности.

а) $b_7$;

Чтобы выразить $b_7$, подставим в формулу $n=7$:

$b_7 = b_1 + (7 - 1)d = b_1 + 6d$

Ответ: $b_7 = b_1 + 6d$

б) $b_{26}$;

Чтобы выразить $b_{26}$, подставим в формулу $n=26$:

$b_{26} = b_1 + (26 - 1)d = b_1 + 25d$

Ответ: $b_{26} = b_1 + 25d$

в) $b_{231}$;

Чтобы выразить $b_{231}$, подставим в формулу $n=231$:

$b_{231} = b_1 + (231 - 1)d = b_1 + 230d$

Ответ: $b_{231} = b_1 + 230d$

г) $b_k$;

Чтобы выразить $b_k$, подставим в формулу $n=k$:

$b_k = b_1 + (k - 1)d$

Ответ: $b_k = b_1 + (k - 1)d$

д) $b_{k+5}$;

Чтобы выразить $b_{k+5}$, подставим в формулу $n=k+5$:

$b_{k+5} = b_1 + ((k+5) - 1)d = b_1 + (k+4)d$

Ответ: $b_{k+5} = b_1 + (k+4)d$

e) $b_{2k}$;

Чтобы выразить $b_{2k}$, подставим в формулу $n=2k$:

$b_{2k} = b_1 + (2k - 1)d$

Ответ: $b_{2k} = b_1 + (2k - 1)d$

577. Последовательность $(c_n)$ — арифметическая прогрессия. Найдите:

а) $c_5$, если $c_1 = 20$ и $d = 3$;

б) $c_{21}$, если $c_1 = 5,8$ и $d = -1,5$.

Данная задача решается с использованием формулы n-го члена арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением к нему одного и того же числа, называемого разностью прогрессии ($d$).

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии ($c_n$) выглядит так:
$c_n = c_1 + (n-1)d$
где $c_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — порядковый номер искомого члена.

а) найти $c_5$, если $c_1 = 20$ и $d = 3$
В этом случае нам нужно найти пятый член прогрессии, то есть $n=5$.
Подставим известные значения в формулу:
$c_5 = c_1 + (5-1)d$
$c_5 = 20 + (4) \cdot 3$
$c_5 = 20 + 12$
$c_5 = 32$
Ответ: 32

б) найти $c_{21}$, если $c_1 = 5,8$ и $d = -1,5$
Здесь мы ищем двадцать первый член прогрессии, следовательно, $n=21$.
Подставим заданные значения в формулу:
$c_{21} = c_1 + (21-1)d$
$c_{21} = 5,8 + (20) \cdot (-1,5)$
$c_{21} = 5,8 - 30$
$c_{21} = -24,2$
Ответ: -24,2

578. Последовательность $(a_n)$ — арифметическая прогрессия. Найдите:

а) $a_{11}$, если $a_1 = -3$ и $d = 0,7$;

б) $a_{26}$, если $a_1 = 18$ и $d = -0,6$.

a) Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — её разность, а $n$ — номер искомого члена.

В данном случае необходимо найти одиннадцатый член прогрессии, $a_{11}$. По условию задачи, первый член $a_1 = -3$ и разность $d = 0,7$. Номер члена $n=11$.

Подставим известные значения в формулу:

$a_{11} = a_1 + (11 - 1)d = -3 + (10) \cdot 0,7$

Теперь выполним вычисления:

$a_{11} = -3 + 7 = 4$

Таким образом, одиннадцатый член прогрессии равен 4.

Ответ: 4

б) Аналогично, для нахождения двадцать шестого члена прогрессии, $a_{26}$, воспользуемся той же формулой $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию, первый член $a_1 = 18$ и разность $d = -0,6$. Номер члена $n=26$.

Подставим эти значения в формулу:

$a_{26} = a_1 + (26 - 1)d = 18 + (25) \cdot (-0,6)$

Выполним вычисления:

$a_{26} = 18 - (25 \cdot 0,6) = 18 - 15 = 3$

Следовательно, двадцать шестой член прогрессии равен 3.

Ответ: 3

579. Найдите десятый и $n$-й члены арифметической прогрессии:

а) $\frac{1}{3}$; -1; ...;

б) 2,3; 1; ...

а) Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

В прогрессии $1/3; -1; \dots$ первый член $a_1 = \frac{1}{3}$.

Найдем разность прогрессии $d$, которая равна разности между последующим и предыдущим членами:
$d = a_2 - a_1 = -1 - \frac{1}{3} = -\frac{3}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{4}{3}$.

Теперь найдем десятый член прогрессии, подставив в формулу $n=10$:
$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d = \frac{1}{3} + 9 \cdot (-\frac{4}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{36}{3} = \frac{1-36}{3} = -\frac{35}{3} = -11\frac{2}{3}$.

Далее найдем n-й член прогрессии, подставив в формулу известные значения $a_1$ и $d$:
$a_n = a_1 + (n-1)d = \frac{1}{3} + (n-1) \cdot (-\frac{4}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{4(n-1)}{3} = \frac{1 - 4n + 4}{3} = \frac{5 - 4n}{3}$.

Ответ: $a_{10} = -11\frac{2}{3}$; $a_n = \frac{5 - 4n}{3}$.

б) Для прогрессии $2,3; 1; \dots$ первый член $a_1 = 2,3$.

Найдем разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 1 - 2,3 = -1,3$.

Теперь найдем десятый член прогрессии ($n=10$):
$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d = 2,3 + 9 \cdot (-1,3) = 2,3 - 11,7 = -9,4$.

Далее найдем n-й член прогрессии:
$a_n = a_1 + (n-1)d = 2,3 + (n-1) \cdot (-1,3) = 2,3 - 1,3n + 1,3 = 3,6 - 1,3n$.

Ответ: $a_{10} = -9,4$; $a_n = 3,6 - 1,3n$.

580. Найдите двадцать третий и $n$-й члены арифметической прогрессии:

а) -8; -6,5; ...

б) 11; 7; ... .

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $n$ — номер члена, а $d$ — разность прогрессии.

а) Дана арифметическая прогрессия: –8; –6,5; ...

1. Найдем первый член и разность прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1 = -8$.

Чтобы найти разность прогрессии $d$, вычтем из второго члена первый:

$d = a_2 - a_1 = -6,5 - (-8) = -6,5 + 8 = 1,5$.

2. Найдем двадцать третий член прогрессии ($a_{23}$).

Подставим известные значения $a_1 = -8$, $d = 1,5$ и $n = 23$ в формулу:

$a_{23} = -8 + (23-1) \cdot 1,5 = -8 + 22 \cdot 1,5 = -8 + 33 = 25$.

3. Найдем n-й член прогрессии ($a_n$).

Подставим значения $a_1 = -8$ и $d = 1,5$ в общую формулу n-го члена:

$a_n = -8 + (n-1) \cdot 1,5 = -8 + 1,5n - 1,5 = 1,5n - 9,5$.

Ответ: $a_{23} = 25$; $a_n = 1,5n - 9,5$.

б) Дана арифметическая прогрессия: 11; 7; ...

1. Найдем первый член и разность прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1 = 11$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 7 - 11 = -4$.

2. Найдем двадцать третий член прогрессии ($a_{23}$).

Подставим известные значения $a_1 = 11$, $d = -4$ и $n = 23$ в формулу:

$a_{23} = 11 + (23-1) \cdot (-4) = 11 + 22 \cdot (-4) = 11 - 88 = -77$.

3. Найдем n-й член прогрессии ($a_n$).

Подставим значения $a_1 = 11$ и $d = -4$ в общую формулу n-го члена:

$a_n = 11 + (n-1) \cdot (-4) = 11 - 4n + 4 = 15 - 4n$.

Ответ: $a_{23} = -77$; $a_n = 15 - 4n$.

581. Тело в первую секунду движения прошло 7 м, а за каждую следующую секунду — на 3 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние тело прошло за восьмую секунду?

Движение тела, описанное в задаче, представляет собой арифметическую прогрессию. Расстояние, проходимое телом за каждую последующую секунду, увеличивается на одно и то же значение.

Обозначим расстояние, пройденное за $n$-ую секунду, как $a_n$.

Из условия задачи нам известны:
- Первый член арифметической прогрессии (расстояние за первую секунду): $a_1 = 7$ м.
- Разность арифметической прогрессии (величина, на которую увеличивается расстояние каждую секунду): $d = 3$ м.

Нам необходимо найти расстояние, которое тело прошло за восьмую секунду, то есть найти восьмой член прогрессии, $a_8$.

Формула для нахождения $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид:
$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим в формулу известные значения для $n=8$:
$a_8 = 7 + (8-1) \times 3$
$a_8 = 7 + 7 \times 3$
$a_8 = 7 + 21$
$a_8 = 28$

Таким образом, за восьмую секунду тело прошло 28 метров.

Ответ: 28 м.

582. Поезд, отойдя от станции, равномерно увеличивал скорость на 50 м в минуту. Какова была скорость поезда в конце двадцатой минуты?

По условию задачи, поезд отходит от станции, следовательно, его начальная скорость равна нулю ($v_0 = 0$). Скорость поезда увеличивается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждую минуту. Это является примером равноускоренного движения.

Дано:
- Увеличение скорости за каждую минуту: $50$ м/мин.
- Время движения: $t = 20$ мин.

Чтобы найти, какова была скорость поезда в конце двадцатой минуты, нужно общее увеличение скорости за 20 минут прибавить к начальной скорости. Общее увеличение скорости можно рассчитать, умножив ежеминутное увеличение на количество прошедших минут.

Выполним расчет:
Общее увеличение скорости = (Увеличение скорости в минуту) $\times$ (Время в минутах)
$50 \frac{\text{м}}{\text{мин}} \times 20 \text{ мин} = 1000 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$

Поскольку поезд начал движение из состояния покоя ($v_0 = 0$), его скорость в конце двадцатой минуты будет равна общему увеличению скорости.
$v_{конечная} = v_0 + \text{общее увеличение скорости} = 0 + 1000 \frac{\text{м}}{\text{мин}} = 1000 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$

Ответ: 1000 м/мин.