Страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

560. Выпишите первые несколько членов последовательности натуральных чисел, кратных 3, взятых в порядке возрастания. Укажите первый, пятый, десятый, сотый и n-й члены этой последовательности.

Последовательность натуральных чисел, кратных 3, взятых в порядке возрастания, — это ряд чисел, которые делятся на 3 без остатка. Первые несколько членов этой последовательности: 3, 6, 9, 12, 15, ...

Можно заметить, что каждый член этой последовательности ($a_n$) равен своему порядковому номеру ($n$), умноженному на 3. Таким образом, общая формула для n-го члена последовательности имеет вид: $a_n = 3n$.

Используя эту формулу, найдем требуемые члены.

Первый член:
Для нахождения первого члена подставляем в формулу $n=1$:
$a_1 = 3 \cdot 1 = 3$.
Ответ: 3.

Пятый член:
Для нахождения пятого члена подставляем в формулу $n=5$:
$a_5 = 3 \cdot 5 = 15$.
Ответ: 15.

Десятый член:
Для нахождения десятого члена подставляем в формулу $n=10$:
$a_{10} = 3 \cdot 10 = 30$.
Ответ: 30.

Сотый член:
Для нахождения сотого члена подставляем в формулу $n=100$:
$a_{100} = 3 \cdot 100 = 300$.
Ответ: 300.

n-й член:
Общая формула для n-го члена этой последовательности, как было показано выше, выражает его через его номер $n$.
Ответ: $a_n = 3n$.

561. Известно, что $(c_n)$ — последовательность, все члены которой с нечётными номерами равны $-1$, а с чётными равны $0$. Выпишите первые восемь членов этой последовательности. Найдите $c_{10}$, $c_{25}$, $c_{200}$, $c_{253}$, $c_{2k}$, $c_{2k+1}$ ($k$ — произвольное натуральное число).

В данной задаче рассматривается последовательность $(c_n)$, которая определяется по следующему правилу: если номер члена $n$ нечётный, то $c_n = -1$; если номер члена $n$ чётный, то $c_n = 0$. Это правило можно записать аналитически: $c_n = \begin{cases} -1, & \text{если } n \text{ — нечётное} \\ 0, & \text{если } n \text{ — чётное} \end{cases}$.

Выпишите первые восемь членов этой последовательности

Применим правило для $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$: $c_1 = -1$ (1 — нечётное), $c_2 = 0$ (2 — чётное), $c_3 = -1$ (3 — нечётное), $c_4 = 0$ (4 — чётное), $c_5 = -1$ (5 — нечётное), $c_6 = 0$ (6 — чётное), $c_7 = -1$ (7 — нечётное), $c_8 = 0$ (8 — чётное). Ответ: -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0.

$c_{10}$

Номер члена $n = 10$. Число 10 является чётным, следовательно, $c_{10}=0$. Ответ: 0.

$c_{25}$

Номер члена $n = 25$. Число 25 является нечётным, следовательно, $c_{25}=-1$. Ответ: -1.

$c_{200}$

Номер члена $n = 200$. Число 200 является чётным, следовательно, $c_{200}=0$. Ответ: 0.

$c_{253}$

Номер члена $n = 253$. Число 253 является нечётным, следовательно, $c_{253}=-1$. Ответ: -1.

$c_{2k}$

Номер члена $n = 2k$, где $k$ — произвольное натуральное число. Для любого натурального $k$ число $2k$ является чётным. Таким образом, $c_{2k}=0$. Ответ: 0.

$c_{2k+1}$

Номер члена $n = 2k+1$, где $k$ — произвольное натуральное число. Для любого натурального $k$ число $2k$ является чётным, а значит, $2k+1$ — нечётным. Таким образом, $c_{2k+1}=-1$. Ответ: -1.

562. Пусть $(a_n)$ — последовательность квадратов натуральных чисел. Выпишите первые десять членов этой последовательности. Найдите $a_{20}$, $a_{40}$, $a_n$.

По условию задачи, последовательность $(a_n)$ — это последовательность квадратов натуральных чисел. Натуральные числа — это 1, 2, 3, и так далее. Следовательно, n-й член последовательности $a_n$ равен квадрату натурального числа $n$. Общая формула для члена этой последовательности имеет вид: $a_n = n^2$.

Выпишите первые десять членов этой последовательности

Чтобы найти первые десять членов последовательности, необходимо последовательно подставить значения $n$ от 1 до 10 в формулу $a_n = n^2$:
$a_1 = 1^2 = 1$
$a_2 = 2^2 = 4$
$a_3 = 3^2 = 9$
$a_4 = 4^2 = 16$
$a_5 = 5^2 = 25$
$a_6 = 6^2 = 36$
$a_7 = 7^2 = 49$
$a_8 = 8^2 = 64$
$a_9 = 9^2 = 81$
$a_{10} = 10^2 = 100$
Ответ: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

$a_{20}$

Для нахождения двадцатого члена последовательности $a_{20}$ подставим $n=20$ в общую формулу:
$a_{20} = 20^2 = 400$.
Ответ: 400.

$a_{40}$

Для нахождения сорокового члена последовательности $a_{40}$ подставим $n=40$ в общую формулу:
$a_{40} = 40^2 = 1600$.
Ответ: 1600.

$a_n$

Формула n-го члена $a_n$ — это общее выражение, которое задает всю последовательность. По определению, данная последовательность состоит из квадратов натуральных чисел, поэтому ее n-й член равен квадрату числа $n$.
Ответ: $a_n = n^2$.

563. Какой член последовательности $a_1, a_2, a_3, \dots$:

a) следует за членом $a_{99}, a_{200}, a_n, a_{n-1}, a_{n+1}, a_{2n}$;

б) предшествует члену $a_{71}, a_{100}, a_{n-2}, a_{n+3}, a_{3n}$?

а)

Член последовательности, следующий за некоторым членом $a_k$, — это член, номер (индекс) которого на единицу больше. То есть, за членом $a_k$ следует член $a_{k+1}$. Применим это правило к каждому случаю:

- За членом $a_{99}$ следует член с номером $99 + 1 = 100$.
Ответ: $a_{100}$

- За членом $a_{200}$ следует член с номером $200 + 1 = 201$.
Ответ: $a_{201}$

- За членом $a_n$ следует член с номером $n + 1$.
Ответ: $a_{n+1}$

- За членом $a_{n-1}$ следует член с номером $(n-1) + 1 = n$.
Ответ: $a_n$

- За членом $a_{n+1}$ следует член с номером $(n+1) + 1 = n+2$.
Ответ: $a_{n+2}$

- За членом $a_{2n}$ следует член с номером $2n + 1$.
Ответ: $a_{2n+1}$

б)

Член последовательности, предшествующий некоторому члену $a_k$ (при условии, что $k>1$), — это член, номер (индекс) которого на единицу меньше. То есть, члену $a_k$ предшествует член $a_{k-1}$. Применим это правило к каждому случаю:

- Члену $a_{71}$ предшествует член с номером $71 - 1 = 70$.
Ответ: $a_{70}$

- Члену $a_{100}$ предшествует член с номером $100 - 1 = 99$.
Ответ: $a_{99}$

- Члену $a_{n-2}$ предшествует член с номером $(n-2) - 1 = n-3$.
Ответ: $a_{n-3}$

- Члену $a_n$ предшествует член с номером $n - 1$.
Ответ: $a_{n-1}$

- Члену $a_{n+3}$ предшествует член с номером $(n+3) - 1 = n+2$.
Ответ: $a_{n+2}$

- Члену $a_{3n}$ предшествует член с номером $3n - 1$.
Ответ: $a_{3n-1}$

564. Перечислите члены последовательности ($x_n$), которые расположены между:

а) $x_{31}$ и $x_{35}$;

б) $x_n$ и $x_{n+6}$;

в) $x_{n-4}$ и $x_n$;

г) $x_{n-2}$ и $x_{n+2}$.

а) Члены последовательности $(x_n)$ пронумерованы натуральными числами $n = 1, 2, 3, \ldots$ и расположены в порядке возрастания их номеров. Члены последовательности, расположенные между $x_{31}$ и $x_{35}$, — это те члены, номера которых больше 31 и меньше 35. Такими номерами являются 32, 33 и 34. Следовательно, искомые члены последовательности — это $x_{32}, x_{33}, x_{34}$.
Ответ: $x_{32}, x_{33}, x_{34}$.

б) Требуется перечислить члены последовательности, расположенные между $x_n$ и $x_{n+6}$. Это члены, номера которых строго больше $n$ и строго меньше $n+6$. Номера, удовлетворяющие этому условию, — это $n+1, n+2, n+3, n+4, n+5$. Соответствующие им члены последовательности: $x_{n+1}, x_{n+2}, x_{n+3}, x_{n+4}, x_{n+5}$.
Ответ: $x_{n+1}, x_{n+2}, x_{n+3}, x_{n+4}, x_{n+5}$.

в) Требуется перечислить члены последовательности, расположенные между $x_{n-4}$ и $x_n$. Это члены, номера которых строго больше $n-4$ и строго меньше $n$. Номера, удовлетворяющие этому условию, — это $n-3, n-2, n-1$. Поскольку номера членов последовательности должны быть натуральными числами, наименьший из этих номеров должен быть не меньше 1, то есть $n-3 \ge 1$, что означает $n \ge 4$. При выполнении этого условия искомые члены последовательности: $x_{n-3}, x_{n-2}, x_{n-1}$.
Ответ: $x_{n-3}, x_{n-2}, x_{n-1}$.

г) Требуется перечислить члены последовательности, расположенные между $x_{n-2}$ и $x_{n+2}$. Это члены, номера которых строго больше $n-2$ и строго меньше $n+2$. Номера, удовлетворяющие этому условию, — это $n-1, n, n+1$. Поскольку номера членов последовательности должны быть натуральными числами, наименьший из этих номеров должен быть не меньше 1, то есть $n-1 \ge 1$, что означает $n \ge 2$. При выполнении этого условия искомые члены последовательности: $x_{n-1}, x_{n}, x_{n+1}$.
Ответ: $x_{n-1}, x_{n}, x_{n+1}$.