Страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

553. Какое множество точек координатной плоскости задаётся неравенством:

а) $x^2 + y^2 - 4x - 8y \le 0$;

б) $x^2 - 6x + y + 4 > 0$?

а) Чтобы определить, какое множество точек задает неравенство $x^2 + y^2 - 4x - 8y \le 0$, преобразуем его, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$. Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 4x) + (y^2 - 8y) \le 0$. Дополним каждое выражение в скобках до полного квадрата: $(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 - 8y + 16) - 16 \le 0$. Это можно переписать в виде $(x-2)^2 + (y-4)^2 - 20 \le 0$, или $(x-2)^2 + (y-4)^2 \le 20$. Уравнение $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 20$ задает окружность с центром в точке $C(2, 4)$ и радиусом $R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. Знак неравенства $\le$ означает, что искомое множество точек включает как точки на самой окружности, так и все точки, лежащие внутри нее. Таким образом, неравенство задает круг.

Ответ: Круг с центром в точке $(2, 4)$ и радиусом $R = 2\sqrt{5}$.

б) Рассмотрим неравенство $x^2 - 6x + y + 4 > 0$. Чтобы определить, какое множество точек оно задает, выразим переменную $y$: $y > -x^2 + 6x - 4$. Это неравенство описывает множество точек на координатной плоскости, которые лежат выше параболы, заданной уравнением $y = -x^2 + 6x - 4$. Найдем параметры этой параболы. Коэффициент при $x^2$ отрицателен (равен -1), следовательно, ветви параболы направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3$. Подставив это значение в уравнение, найдем $y_v$: $y_v = -(3)^2 + 6(3) - 4 = -9 + 18 - 4 = 5$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, 5)$. Знак неравенства строгий ($>$), поэтому точки, лежащие на самой параболе, в искомое множество не входят.

Ответ: Множество точек плоскости, расположенных над параболой $y = -x^2 + 6x - 4$, вершина которой находится в точке $(3, 5)$, а ветви направлены вниз. Сама парабола не является частью этого множества.

554. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

а) $y \ge |x|;$

б) $y \le |x - 2|.$

а)

Чтобы изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства $y \ge |x|$, выполним следующие шаги:

1. Построение границы. Сначала построим график функции, соответствующей равенству $y = |x|$. Этот график является границей искомой области. По определению модуля, функцию $y = |x|$ можно разбить на две части:

• $y = x$ при $x \ge 0$. Это прямая, являющаяся биссектрисой первого координатного угла.
• $y = -x$ при $x < 0$. Это прямая, являющаяся биссектрисой второго координатного угла.

График представляет собой "галочку" (или V-образную кривую) с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Поскольку исходное неравенство нестрогое ($ \ge $), точки на самой линии $y = |x|$ являются частью решения, поэтому граница изображается сплошной линией.

2. Определение области решений. Неравенство $y \ge |x|$ означает, что нас интересуют все точки $(x, y)$, у которых ордината $y$ больше или равна значению $|x|$. Геометрически это соответствует области, расположенной выше графика $y = |x|$.

3. Проверка с помощью контрольной точки. Чтобы убедиться в правильности выбора области, возьмем любую точку, не лежащую на границе $y = |x|$. Например, точку $(0, 3)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство: $3 \ge |0|$ $3 \ge 0$ Неравенство верное. Это подтверждает, что область, в которой лежит точка $(0, 3)$, является искомым множеством решений. Эта область находится "внутри" V-образного графика, то есть над ним.

Таким образом, множество решений неравенства $y \ge |x|$ — это все точки, лежащие на и выше графика функции $y = |x|$.

Ответ: Множеством решений является область, ограниченная снизу лучами $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=-x$ для $x < 0$. Сами лучи включены в решение.

б)

Чтобы изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства $y \le |x - 2|$, выполним следующие шаги:

1. Построение границы. Сначала построим график граничной функции $y = |x - 2|$. Этот график можно получить из графика $y = |x|$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина "галочки" окажется в точке $(2, 0)$. Функцию также можно представить в виде системы:

• $y = x - 2$ при $x - 2 \ge 0$, то есть при $x \ge 2$.
• $y = -(x - 2) = -x + 2$ при $x - 2 < 0$, то есть при $x < 2$.

Поскольку неравенство нестрогое ($ \le $), граница $y = |x - 2|$ включается в множество решений и изображается сплошной линией.

2. Определение области решений. Неравенство $y \le |x - 2|$ означает, что нас интересуют все точки $(x, y)$, у которых ордината $y$ меньше или равна значению $|x - 2|$. Геометрически это соответствует области, расположенной ниже графика $y = |x - 2|$.

3. Проверка с помощью контрольной точки. Возьмем контрольную точку, не лежащую на границе. Например, начало координат $(0, 0)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство: $0 \le |0 - 2|$ $0 \le |-2|$ $0 \le 2$ Неравенство верное. Следовательно, область, содержащая точку $(0, 0)$, является решением. Эта область находится "снаружи" V-образного графика, то есть под ним.

Таким образом, множество решений неравенства $y \le |x - 2|$ — это все точки, лежащие на и ниже графика функции $y = |x - 2|$.

Ответ: Множеством решений является область, ограниченная сверху лучами $y=x-2$ для $x \ge 2$ и $y=-x+2$ для $x < 2$. Сами лучи включены в решение.

555. Какое множество точек задаёт на координатной плоскости неравенство:

а) $(x-1)(y-1) \geq 0$;

б) $x^2 - y^2 > 0$?

а) Рассматриваем неравенство $(x - 1)(y - 1) \ge 0$.

Произведение двух сомножителей является неотрицательным, если оба сомножителя имеют одинаковые знаки, то есть оба неотрицательны или оба неположительны.

Это приводит к совокупности двух систем неравенств:

1) Оба сомножителя неотрицательны:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ y - 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ y \ge 1 \end{cases}$

Это множество точек на координатной плоскости, для которых координата $x$ не меньше 1, а координата $y$ не меньше 1. Геометрически это замкнутый квадрант, ограниченный снизу прямой $y=1$ и слева прямой $x=1$.

2) Оба сомножителя неположительны:

$\begin{cases} x - 1 \le 0 \\ y - 1 \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 1 \\ y \le 1 \end{cases}$

Это множество точек, для которых координата $x$ не больше 1, а координата $y$ не больше 1. Геометрически это замкнутый квадрант, ограниченный сверху прямой $y=1$ и справа прямой $x=1$.

Итоговое множество точек является объединением этих двух областей. Границы областей, прямые $x=1$ и $y=1$, включены в решение, так как неравенство нестрогое ($\ge$).

Ответ: Объединение двух замкнутых областей: первая определяется системой неравенств $x \ge 1$, $y \ge 1$, а вторая — системой $x \le 1$, $y \le 1$. Геометрически это пара вертикальных углов, образованных пересечением прямых $x=1$ и $y=1$, включая сами прямые.

б) Рассматриваем неравенство $x^2 - y^2 > 0$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к левой части неравенства:

$(x - y)(x + y) > 0$

Произведение двух сомножителей положительно, если оба сомножителя имеют одинаковые знаки, то есть оба положительны или оба отрицательны.

Это приводит к совокупности двух систем неравенств:

1) Оба сомножителя положительны:

$\begin{cases} x - y > 0 \\ x + y > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y < x \\ y > -x \end{cases}$

Это область, расположенная между прямыми $y=x$ и $y=-x$ и содержащая положительную часть оси Ox.

2) Оба сомножителя отрицательны:

$\begin{cases} x - y < 0 \\ x + y < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y > x \\ y < -x \end{cases}$

Это область, расположенная между прямыми $y=x$ и $y=-x$ и содержащая отрицательную часть оси Ox.

Искомое множество точек является объединением этих двух областей. Граничные прямые $y=x$ и $y=-x$ не входят в решение, так как неравенство строгое ($>$). Неравенство $x^2 > y^2$ также можно записать как $|x| > |y|$, что означает, что искомые точки находятся "ближе" к оси Ox, чем к оси Oy.

Ответ: Множество точек, расположенных внутри двух вертикальных углов, образованных пересекающимися прямыми $y=x$ и $y=-x$. Одна область содержит положительную полуось Ox, а другая — отрицательную полуось Ox. Границы этих областей (прямые $y=x$ и $y=-x$) не включаются в множество.

556. Докажите, что множество решений неравенства $ |x| + |y| \le 1 $ задаётся фигурой, изображённой на рисунке 74.

Рис. 74

Для доказательства того, что множество решений неравенства $|x| + |y| \le 1$ задает фигуру, изображенную на рисунке, необходимо рассмотреть это неравенство в каждой из четырех координатных четвертей. Раскрытие модулей зависит от знаков переменных $x$ и $y$.

1. Первая координатная четверть ($x \ge 0, y \ge 0$)
В этой четверти $|x| = x$ и $|y| = y$. Неравенство принимает вид $x + y \le 1$. Границей этой области является прямая $x + y = 1$, которая проходит через точки $(1, 0)$ и $(0, 1)$. Учитывая условия $x \ge 0$ и $y \ge 0$, решением в этой четверти является треугольник, ограниченный осями координат и отрезком этой прямой, с вершинами в точках $(0, 0)$, $(1, 0)$ и $(0, 1)$.

2. Вторая координатная четверть ($x < 0, y \ge 0$)
Здесь $|x| = -x$ и $|y| = y$. Неравенство становится $-x + y \le 1$. Границей является прямая $-x + y = 1$, проходящая через точки $(-1, 0)$ и $(0, 1)$. С учетом условий $x < 0$ и $y \ge 0$, решением является треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.

3. Третья координатная четверть ($x < 0, y < 0$)
В этом случае $|x| = -x$ и $|y| = -y$. Неравенство принимает вид $-x - y \le 1$, что равносильно $x + y \ge -1$. Границей является прямая $x + y = -1$, которая проходит через точки $(-1, 0)$ и $(0, -1)$. С учетом условий $x < 0$ и $y < 0$, решением является треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

4. Четвертая координатная четверть ($x \ge 0, y < 0$)
Здесь $|x| = x$ и $|y| = -y$. Неравенство принимает вид $x - y \le 1$. Границей является прямая $x - y = 1$, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(0, -1)$. С учетом условий $x \ge 0$ и $y < 0$, решением является треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(1, 0)$ и $(0, -1)$.

Объединение множеств решений для всех четырех четвертей дает фигуру, которая является объединением четырех полученных треугольников. Эта фигура представляет собой квадрат (ромб) с вершинами в точках $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$. Данная фигура в точности соответствует изображенной на рисунке 74. Поскольку неравенство нестрогое ($ \le $), оно включает как внутреннюю область квадрата, так и его границу (стороны). Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказательство проведено путем рассмотрения неравенства в каждой из четырех координатных четвертей. В результате раскрытия модулей в каждой четверти получается линейное неравенство, решением которого является треугольник. Объединение этих четырех треугольников образует замкнутый квадрат с вершинами в точках $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$, что и является фигурой, изображенной на рисунке.

557. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

a) $\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 25, \\ xy \leq 0; \end{cases}$б) $\begin{cases} x^2 + y^2 \geq 9, \\ xy \geq 0. \end{cases}$

а) Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 25$ задает на координатной плоскости замкнутый круг с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$. Это множество включает все точки внутри окружности и на самой окружности.

Второе неравенство $xy \le 0$ выполняется в тех случаях, когда переменные $x$ и $y$ имеют разные знаки ($x > 0, y < 0$ или $x < 0, y > 0$) или когда хотя бы одна из них равна нулю. Это соответствует точкам, расположенным во второй и четвертой координатных четвертях, включая оси координат.

Решением системы является пересечение этих двух множеств. Таким образом, искомое множество точек — это та часть круга $x^2 + y^2 \le 25$, которая лежит во второй и четвертой координатных четвертях. Поскольку оба неравенства нестрогие, границы области (соответствующие дуги окружности и отрезки осей координат) включаются в решение.

Ответ: Множество решений представляет собой два замкнутых сектора круга с центром в начале координат и радиусом 5, расположенные во второй и четвертой координатных четвертях.

б) Первое неравенство $x^2 + y^2 \ge 9$ задает на координатной плоскости все точки, расположенные на и вне окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$.

Второе неравенство $xy \ge 0$ выполняется в тех случаях, когда переменные $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки ($x > 0, y > 0$ или $x < 0, y < 0$) или когда хотя бы одна из них равна нулю. Это соответствует точкам, расположенным в первой и третьей координатных четвертях, включая оси координат.

Решением системы является пересечение этих двух множеств. Таким образом, искомое множество — это все точки первой и третьей координатных четвертей, которые лежат на или вне окружности $x^2 + y^2 = 9$. Поскольку оба неравенства нестрогие, границы области (соответствующие дуги окружности и части осей координат) включаются в решение.

Ответ: Множество решений представляет собой все точки первой и третьей координатных четвертей, за исключением точек, лежащих внутри круга $x^2+y^2=9$ (то есть, из которых "вырезан" открытый круг радиусом 3 с центром в начале координат).

558. Укажите какие-нибудь значения k и b, при которых система неравенств

$$\begin{cases} y \le 2x + 3, \\ y \ge kx + b \end{cases}$$

задаёт на координатной плоскости:

a) полосу;

б) угол.

а)

Система неравенств задает на координатной плоскости полосу, если ее граничные прямые $y = 2x + 3$ и $y = kx + b$ параллельны, но не совпадают. Область решений в этом случае будет находиться между этими прямыми.

Прямые на плоскости параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент первой прямой $y = 2x + 3$ равен $2$. Следовательно, угловой коэффициент второй прямой $k$ также должен быть равен $2$.

При $k = 2$ система неравенств принимает вид: $ \begin{cases} y \le 2x + 3, \\ y \ge 2x + b \end{cases} $

Это можно записать как двойное неравенство: $2x + b \le y \le 2x + 3$.

Чтобы это неравенство задавало именно полосу (а не прямую или пустое множество), прямая $y = 2x + b$ должна находиться строго ниже прямой $y = 2x + 3$. Поскольку прямые параллельны, это означает, что свободный член $b$ должен быть строго меньше свободного члена $3$. Таким образом, должно выполняться условие $b < 3$.

В качестве примера можно выбрать любые значения, удовлетворяющие условиям $k = 2$ и $b < 3$. Возьмем, например, $k = 2$ и $b = 0$.

Ответ: например, $k = 2$, $b = 0$.

б)

Система неравенств задает на координатной плоскости угол, если ее граничные прямые $y = 2x + 3$ и $y = kx + b$ пересекаются.

Прямые на плоскости пересекаются, если их угловые коэффициенты не равны. Угловой коэффициент первой прямой равен $2$. Следовательно, угловой коэффициент второй прямой $k$ не должен быть равен $2$. То есть, должно выполняться условие $k \neq 2$.

Значение свободного члена $b$ может быть любым действительным числом, так как оно влияет только на положение точки пересечения прямых, но не на сам факт их пересечения (при условии $k \neq 2$).

В качестве примера можно выбрать любые значения, удовлетворяющие условию $k \neq 2$. Возьмем, например, $k = 1$ и $b = 1$.

При этих значениях система примет вид: $ \begin{cases} y \le 2x + 3, \\ y \ge x + 1 \end{cases} $

Прямые $y = 2x + 3$ и $y = x + 1$ пересекаются, и решение системы представляет собой область на плоскости, ограниченную лучами этих прямых, что и является углом.

Ответ: например, $k = 1$, $b = 1$.

559. Каким множеством точек изображается множество решений неравенства:

a) $y(x^2 + y^2 - 1) \ge 0;$

б) $x(x^2 - y) \le 0?$

а) Данное неравенство $y(x^2 + y^2 - 1) \ge 0$ представляет собой произведение двух множителей. Произведение неотрицательно, если оба множителя имеют одинаковый знак (оба неотрицательны или оба неположительны).

Границы, которые разделяют координатную плоскость на области, определяются уравнениями $y=0$ (ось Ox) и $x^2 + y^2 - 1 = 0$ (единичная окружность с центром в начале координат).

Рассмотрим два случая:

1. Оба множителя неотрицательны: $y \ge 0$ и $x^2 + y^2 - 1 \ge 0$. Система этих неравенств $y \ge 0$ и $x^2 + y^2 \ge 1$ описывает множество точек, расположенных в верхней полуплоскости (включая ось Ox) и одновременно на или вне единичной окружности.

2. Оба множителя неположительны: $y \le 0$ и $x^2 + y^2 - 1 \le 0$. Система этих неравенств $y \le 0$ и $x^2 + y^2 \le 1$ описывает множество точек, расположенных в нижней полуплоскости (включая ось Ox) и одновременно на или внутри единичной окружности.

Искомое множество точек является объединением решений из этих двух случаев. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge 0$), точки, лежащие на границах (на оси Ox и на окружности $x^2 + y^2 = 1$), также включаются в решение.

Ответ: Множество решений представляет собой объединение двух областей: множества точек, для которых $y \ge 0$ и $x^2 + y^2 \ge 1$ (точки в верхней полуплоскости на и вне единичной окружности), и множества точек, для которых $y \le 0$ и $x^2 + y^2 \le 1$ (точки в нижней полуплоскости на и внутри единичной окружности).

б) Неравенство $x(x^2 - y) \le 0$ также решается анализом знаков двух множителей. Произведение неположительно, если множители имеют разные знаки или один из них равен нулю.

Границами областей являются линии, где множители равны нулю: $x = 0$ (ось Oy) и $x^2 - y = 0$, то есть парабола $y = x^2$.

Рассмотрим два случая:

1. Первый множитель неотрицателен, а второй неположителен: $x \ge 0$ и $x^2 - y \le 0$. Эта система эквивалентна $x \ge 0$ и $y \ge x^2$. Геометрически это множество точек, находящихся в правой полуплоскости (включая ось Oy) и одновременно на или выше параболы $y = x^2$.

2. Первый множитель неположителен, а второй неотрицателен: $x \le 0$ и $x^2 - y \ge 0$. Эта система эквивалентна $x \le 0$ и $y \le x^2$. Геометрически это множество точек, находящихся в левой полуплоскости (включая ось Oy) и одновременно на или ниже параболы $y = x^2$.

Общее решение является объединением множеств точек из этих двух случаев. Так как неравенство нестрогое ($\le 0$), точки на границах (на оси Oy и на параболе $y = x^2$) также включаются в множество решений.

Ответ: Множество решений представляет собой объединение двух областей: множества точек, для которых одновременно выполняются условия $x \ge 0$ и $y \ge x^2$, и множества точек, для которых одновременно выполняются условия $x \le 0$ и $y \le x^2$.