Номер 556, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

556. Докажите, что множество решений неравенства $ |x| + |y| \le 1 $ задаётся фигурой, изображённой на рисунке 74.

Рис. 74

Для доказательства того, что множество решений неравенства $|x| + |y| \le 1$ задает фигуру, изображенную на рисунке, необходимо рассмотреть это неравенство в каждой из четырех координатных четвертей. Раскрытие модулей зависит от знаков переменных $x$ и $y$.

1. Первая координатная четверть ($x \ge 0, y \ge 0$)
В этой четверти $|x| = x$ и $|y| = y$. Неравенство принимает вид $x + y \le 1$. Границей этой области является прямая $x + y = 1$, которая проходит через точки $(1, 0)$ и $(0, 1)$. Учитывая условия $x \ge 0$ и $y \ge 0$, решением в этой четверти является треугольник, ограниченный осями координат и отрезком этой прямой, с вершинами в точках $(0, 0)$, $(1, 0)$ и $(0, 1)$.

2. Вторая координатная четверть ($x < 0, y \ge 0$)
Здесь $|x| = -x$ и $|y| = y$. Неравенство становится $-x + y \le 1$. Границей является прямая $-x + y = 1$, проходящая через точки $(-1, 0)$ и $(0, 1)$. С учетом условий $x < 0$ и $y \ge 0$, решением является треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.

3. Третья координатная четверть ($x < 0, y < 0$)
В этом случае $|x| = -x$ и $|y| = -y$. Неравенство принимает вид $-x - y \le 1$, что равносильно $x + y \ge -1$. Границей является прямая $x + y = -1$, которая проходит через точки $(-1, 0)$ и $(0, -1)$. С учетом условий $x < 0$ и $y < 0$, решением является треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

4. Четвертая координатная четверть ($x \ge 0, y < 0$)
Здесь $|x| = x$ и $|y| = -y$. Неравенство принимает вид $x - y \le 1$. Границей является прямая $x - y = 1$, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(0, -1)$. С учетом условий $x \ge 0$ и $y < 0$, решением является треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(1, 0)$ и $(0, -1)$.

Объединение множеств решений для всех четырех четвертей дает фигуру, которая является объединением четырех полученных треугольников. Эта фигура представляет собой квадрат (ромб) с вершинами в точках $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$. Данная фигура в точности соответствует изображенной на рисунке 74. Поскольку неравенство нестрогое ($ \le $), оно включает как внутреннюю область квадрата, так и его границу (стороны). Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказательство проведено путем рассмотрения неравенства в каждой из четырех координатных четвертей. В результате раскрытия модулей в каждой четверти получается линейное неравенство, решением которого является треугольник. Объединение этих четырех треугольников образует замкнутый квадрат с вершинами в точках $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$, что и является фигурой, изображенной на рисунке.