Номер 553, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе 3. Глава 3. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 553, страница 143.

553. Какое множество точек координатной плоскости задаётся неравенством:

а) $x^2 + y^2 - 4x - 8y \le 0$;

б) $x^2 - 6x + y + 4 > 0$?

а) Чтобы определить, какое множество точек задает неравенство $x^2 + y^2 - 4x - 8y \le 0$, преобразуем его, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$. Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 4x) + (y^2 - 8y) \le 0$. Дополним каждое выражение в скобках до полного квадрата: $(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 - 8y + 16) - 16 \le 0$. Это можно переписать в виде $(x-2)^2 + (y-4)^2 - 20 \le 0$, или $(x-2)^2 + (y-4)^2 \le 20$. Уравнение $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 20$ задает окружность с центром в точке $C(2, 4)$ и радиусом $R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. Знак неравенства $\le$ означает, что искомое множество точек включает как точки на самой окружности, так и все точки, лежащие внутри нее. Таким образом, неравенство задает круг.

Ответ: Круг с центром в точке $(2, 4)$ и радиусом $R = 2\sqrt{5}$.

б) Рассмотрим неравенство $x^2 - 6x + y + 4 > 0$. Чтобы определить, какое множество точек оно задает, выразим переменную $y$: $y > -x^2 + 6x - 4$. Это неравенство описывает множество точек на координатной плоскости, которые лежат выше параболы, заданной уравнением $y = -x^2 + 6x - 4$. Найдем параметры этой параболы. Коэффициент при $x^2$ отрицателен (равен -1), следовательно, ветви параболы направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3$. Подставив это значение в уравнение, найдем $y_v$: $y_v = -(3)^2 + 6(3) - 4 = -9 + 18 - 4 = 5$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, 5)$. Знак неравенства строгий ($>$), поэтому точки, лежащие на самой параболе, в искомое множество не входят.

Ответ: Множество точек плоскости, расположенных над параболой $y = -x^2 + 6x - 4$, вершина которой находится в точке $(3, 5)$, а ветви направлены вниз. Сама парабола не является частью этого множества.