Номер 548, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

548. Из пунктов $M$ и $N$ выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Один из них пришёл в $N$ через 1 ч 15 мин после встречи, а другой — в $M$ через 48 мин после встречи. Расстояние между пунктами $M$ и $N$ равно 90 км. Найдите скорости автомобилей.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго автомобилей соответственно. Пусть первый автомобиль выехал из пункта $M$ (и движется в $N$), а второй — из пункта $N$ (и движется в $M$). Обозначим время, прошедшее от начала движения до встречи, как $t$. Общее расстояние между пунктами $S = 90$ км.

До момента встречи первый автомобиль проехал расстояние $S_1 = v_1 t$, а второй — $S_2 = v_2 t$. Сумма этих расстояний равна общему расстоянию: $S_1 + S_2 = (v_1 + v_2)t = 90$ км.

После встречи первому автомобилю (который едет в $N$) осталось проехать расстояние $S_2$. По условию, он затратил на это время $t_1 = 1$ ч $15$ мин. Второй автомобиль (который едет в $M$) осталось проехать расстояние $S_1$. Он затратил на это время $t_2 = 48$ мин.

Переведем время в часы для удобства расчетов:
$t_1 = 1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 1 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{1}{4} \text{ ч} = \frac{5}{4} \text{ ч}$.
$t_2 = 48 \text{ мин} = \frac{48}{60} \text{ ч} = \frac{4}{5} \text{ ч}$.

Теперь запишем уравнения для расстояний, пройденных после встречи:
$S_2 = v_1 \cdot t_1 = v_1 \cdot \frac{5}{4}$.
$S_1 = v_2 \cdot t_2 = v_2 \cdot \frac{4}{5}$.

Вспомним, что $S_1 = v_1 t$ и $S_2 = v_2 t$. Приравняем выражения для $S_1$ и $S_2$:
$v_1 t = v_2 \cdot \frac{4}{5}$ (1)
$v_2 t = v_1 \cdot \frac{5}{4}$ (2)

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):
$\frac{v_2 t}{v_1 t} = \frac{v_1 \cdot \frac{5}{4}}{v_2 \cdot \frac{4}{5}}$
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{\frac{5}{4} v_1}{\frac{4}{5} v_2}$

Перегруппируем члены, чтобы найти отношение скоростей:
$\frac{v_2}{v_1} \cdot \frac{v_2}{v_1} = \frac{5/4}{4/5}$
$(\frac{v_2}{v_1})^2 = \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} = \frac{25}{16}$
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$
Отсюда получаем, что $v_2 = \frac{5}{4} v_1$.

Общее расстояние $S$ равно сумме расстояний $S_1$ и $S_2$:
$S = S_1 + S_2 = 90$ км.
Подставим выражения для $S_1$ и $S_2$ через скорости и время, затраченное после встречи:
$v_2 \cdot \frac{4}{5} + v_1 \cdot \frac{5}{4} = 90$

Теперь заменим $v_2$ на $\frac{5}{4} v_1$ в этом уравнении:
$(\frac{5}{4} v_1) \cdot \frac{4}{5} + v_1 \cdot \frac{5}{4} = 90$
$v_1 + \frac{5}{4} v_1 = 90$
$v_1 (1 + \frac{5}{4}) = 90$
$v_1 (\frac{4}{4} + \frac{5}{4}) = 90$
$v_1 \cdot \frac{9}{4} = 90$
$v_1 = 90 \cdot \frac{4}{9} = 10 \cdot 4 = 40$ км/ч.

Найдем скорость второго автомобиля:
$v_2 = \frac{5}{4} v_1 = \frac{5}{4} \cdot 40 = 5 \cdot 10 = 50$ км/ч.

Таким образом, скорости автомобилей составляют 40 км/ч и 50 км/ч.

Ответ: 40 км/ч и 50 км/ч.