Номер 543, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

543. Если числитель обыкновенной дроби увеличить на 7, а знаменатель возвести в квадрат, то получится дробь, равная $3/4$. Если же числитель оставить без изменения, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная $1/2$. Найдите эту дробь.

Пусть искомая обыкновенная дробь имеет вид $\frac{x}{y}$, где $x$ — числитель, а $y$ — знаменатель.

Согласно первому условию задачи, если числитель увеличить на 7, а знаменатель возвести в квадрат, то получится дробь, равная $\frac{3}{4}$. Это можно записать в виде уравнения:

$\frac{x+7}{y^2} = \frac{3}{4}$

Согласно второму условию, если числитель оставить без изменения, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная $\frac{1}{2}$. Это дает нам второе уравнение:

$\frac{x}{y+6} = \frac{1}{2}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:$$\begin{cases}\frac{x+7}{y^2} = \frac{3}{4} \\\frac{x}{y+6} = \frac{1}{2}\end{cases}$$

Для решения системы выразим $x$ из второго уравнения. Для этого умножим обе части уравнения на $(y+6)$:

$x = \frac{y+6}{2}$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$\frac{(\frac{y+6}{2}) + 7}{y^2} = \frac{3}{4}$

Упростим числитель дроби в левой части:

$\frac{\frac{y+6+14}{2}}{y^2} = \frac{3}{4}$

$\frac{\frac{y+20}{2}}{y^2} = \frac{3}{4}$

$\frac{y+20}{2y^2} = \frac{3}{4}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$4(y+20) = 3(2y^2)$

$4y + 80 = 6y^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$6y^2 - 4y - 80 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$3y^2 - 2y - 40 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 4 + 480 = 484$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{484} = 22$.

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-(-2) + 22}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 22}{6} = \frac{24}{6} = 4$

$y_2 = \frac{-(-2) - 22}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 22}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}$

Поскольку в условии говорится об обыкновенной дроби, её знаменатель, как правило, является натуральным числом. Поэтому корень $y_2 = -\frac{10}{3}$ не является подходящим решением. Таким образом, знаменатель искомой дроби $y=4$.

Теперь найдем числитель $x$, подставив значение $y=4$ в выражение $x = \frac{y+6}{2}$:

$x = \frac{4+6}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Итак, искомая дробь — это $\frac{5}{4}$.

Проверка:

1. Увеличим числитель на 7 ($5+7=12$), а знаменатель возведем в квадрат ($4^2=16$). Получим дробь $\frac{12}{16}$. Сократив ее на 4, получим $\frac{3}{4}$. Первое условие выполняется.

2. Оставим числитель без изменения (5), а знаменатель увеличим на 6 ($4+6=10$). Получим дробь $\frac{5}{10}$. Сократив ее на 5, получим $\frac{1}{2}$. Второе условие также выполняется.

Оба условия соблюдены, следовательно, задача решена верно.

Ответ: $\frac{5}{4}$