Номер 539, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

539. Произведение двух чисел в 15 раз больше их суммы. Если к первому числу прибавить удвоенное второе число, то получится 100. Найдите эти числа.

Пусть первое искомое число — $x$, а второе — $y$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.
Первое условие: "Произведение двух чисел в 15 раз больше их суммы". В виде уравнения это выглядит так:
$xy = 15(x + y)$

Второе условие: "Если к первому числу прибавить удвоенное второе число, то получится 100". Это можно записать как:
$x + 2y = 100$

Таким образом, мы имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} xy = 15(x + y) \\ x + 2y = 100 \end{cases}$

Для решения системы выразим $x$ из второго, более простого, уравнения:
$x = 100 - 2y$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$(100 - 2y)y = 15((100 - 2y) + y)$

Теперь решим это уравнение относительно $y$. Сначала упростим его:
$100y - 2y^2 = 15(100 - y)$
$100y - 2y^2 = 1500 - 15y$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2y^2 - 100y - 15y + 1500 = 0$
$2y^2 - 115y + 1500 = 0$

Для нахождения корней этого уравнения используем формулу через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-115)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1500 = 13225 - 12000 = 1225$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$.

Теперь находим два возможных значения для $y$:
$y_1 = \frac{-(-115) + 35}{2 \cdot 2} = \frac{115 + 35}{4} = \frac{150}{4} = 37.5$
$y_2 = \frac{-(-115) - 35}{2 \cdot 2} = \frac{115 - 35}{4} = \frac{80}{4} = 20$

Мы нашли два возможных значения для второго числа. Для каждого из них найдем соответствующее значение первого числа $x$, используя $x = 100 - 2y$.

Случай 1: если $y_1 = 37.5$
$x_1 = 100 - 2(37.5) = 100 - 75 = 25$.
Получили первую пару чисел: 25 и 37.5.

Случай 2: если $y_2 = 20$
$x_2 = 100 - 2(20) = 100 - 40 = 60$.
Получили вторую пару чисел: 60 и 20.

Выполним проверку для обоих найденных решений.
Проверка для (25; 37.5):
$25 \cdot 37.5 = 937.5$ и $15(25 + 37.5) = 15 \cdot 62.5 = 937.5$. Первое условие выполняется.
$25 + 2(37.5) = 25 + 75 = 100$. Второе условие выполняется.

Проверка для (60; 20):
$60 \cdot 20 = 1200$ и $15(60 + 20) = 15 \cdot 80 = 1200$. Первое условие выполняется.
$60 + 2(20) = 60 + 40 = 100$. Второе условие выполняется.

Обе пары чисел удовлетворяют условиям задачи.
Ответ: 25 и 37.5; или 60 и 20.