Номер 534, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

534. Имеет ли решения система уравнений

$$\begin{cases}3x - 4y = -2, \\3x + y^2 = 10, \\x^2 - y^2 - x + y = 100?\end{cases}$$

Чтобы определить, имеет ли данная система уравнений решения, мы сначала решим систему, состоящую из первых двух уравнений, чтобы найти возможные пары значений $(x, y)$. Затем мы проверим, удовлетворяют ли эти пары третьему уравнению.

Исходная система уравнений:

$$\begin{cases}3x - 4y = -2 \quad &(1) \\3x + y^2 = 10 \quad &(2) \\x^2 - y^2 - x + y = 100 \quad &(3)\end{cases}$$

Возьмем первые два уравнения:

$$\begin{cases}3x - 4y = -2 \\3x + y^2 = 10\end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $3x$:

$3x = 4y - 2$

Подставим полученное выражение для $3x$ во второе уравнение:

$(4y - 2) + y^2 = 10$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$y^2 + 4y - 2 - 10 = 0$

$y^2 + 4y - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Можно использовать разложение на множители. Найдем два числа, произведение которых равно $-12$, а сумма равна $4$. Это числа $6$ и $-2$.

$(y + 6)(y - 2) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:

$y_1 = -6$ или $y_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя выражение $3x = 4y - 2$.

При $y_1 = -6$:

$3x_1 = 4(-6) - 2 = -24 - 2 = -26$

$x_1 = -\frac{26}{3}$

Таким образом, первая возможная пара решений — $(-\frac{26}{3}, -6)$.

При $y_2 = 2$:

$3x_2 = 4(2) - 2 = 8 - 2 = 6$

$x_2 = 2$

Таким образом, вторая возможная пара решений — $(2, 2)$.

Теперь мы должны проверить, удовлетворяет ли какая-либо из этих пар третьему уравнению системы: $x^2 - y^2 - x + y = 100$.

Проверка пары $(2, 2)$:

Подставляем $x = 2$ и $y = 2$ в левую часть третьего уравнения:

$2^2 - 2^2 - 2 + 2 = 4 - 4 - 2 + 2 = 0$

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $0 \neq 100$. Значит, пара $(2, 2)$ не является решением системы.

Проверка пары $(-\frac{26}{3}, -6)$:

Подставляем $x = -\frac{26}{3}$ и $y = -6$ в левую часть третьего уравнения:

$(-\frac{26}{3})^2 - (-6)^2 - (-\frac{26}{3}) + (-6) = \frac{676}{9} - 36 + \frac{26}{3} - 6$

Объединим целые числа и приведем дроби к общему знаменателю $9$:

$\frac{676}{9} - 42 + \frac{26 \cdot 3}{9} = \frac{676}{9} - \frac{42 \cdot 9}{9} + \frac{78}{9} = \frac{676 - 378 + 78}{9} = \frac{298 + 78}{9} = \frac{376}{9}$

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $\frac{376}{9} \neq 100$, так как $376 \neq 900$. Значит, пара $(-\frac{26}{3}, -6)$ также не является решением системы.

Поскольку ни одно из решений, удовлетворяющих первым двум уравнениям, не удовлетворяет третьему уравнению, данная система уравнений является несовместной.

Ответ: нет, система уравнений не имеет решений.