Номер 532, страница 140 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

532. Решите систему уравнений:

a) $ \begin{cases} (x + y)(x - y) = 0, \\ 2x - y = 1; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 100, \\ (x - 7y)(x + 7y) = 0; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ (x - 3)(y - 5) = 0; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 50, \\ x(y + 1) = 0. \end{cases} $

Дана система уравнений: $ \begin{cases} (x + y)(x - y) = 0, \\ 2x - y = 1. \end{cases} $

Из первого уравнения следует, что произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений: $x+y=0$ или $x-y=0$. Рассмотрим каждый случай.

1. Случай, когда $x + y = 0$:

Выразим $y$ через $x$: $y = -x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2x - (-x) = 1$

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$

Теперь найдем соответствующее значение $y$: $y = -x = -\frac{1}{3}$.

Первое решение системы: $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$.

2. Случай, когда $x - y = 0$:

Выразим $y$ через $x$: $y = x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2x - x = 1$

$x = 1$

Теперь найдем соответствующее значение $y$: $y = x = 1$.

Второе решение системы: $(1, 1)$.

Ответ: $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$, $(1, 1)$.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 100, \\ (x - 7y)(x + 7y) = 0. \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $x - 7y = 0$ или $x + 7y = 0$. Рассмотрим каждый случай.

1. Случай, когда $x - 7y = 0$:

Выразим $x$ через $y$: $x = 7y$.

Подставим в первое уравнение:

$(7y)^2 + y^2 = 100$

$49y^2 + y^2 = 100$

$50y^2 = 100$

$y^2 = 2 \Rightarrow y = \pm\sqrt{2}$.

Если $y = \sqrt{2}$, то $x = 7\sqrt{2}$. Решение: $(7\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

Если $y = -\sqrt{2}$, то $x = -7\sqrt{2}$. Решение: $(-7\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

2. Случай, когда $x + 7y = 0$:

Выразим $x$ через $y$: $x = -7y$.

Подставим в первое уравнение:

$(-7y)^2 + y^2 = 100$

$49y^2 + y^2 = 100$

$50y^2 = 100$

$y^2 = 2 \Rightarrow y = \pm\sqrt{2}$.

Если $y = \sqrt{2}$, то $x = -7\sqrt{2}$. Решение: $(-7\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

Если $y = -\sqrt{2}$, то $x = 7\sqrt{2}$. Решение: $(7\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

Ответ: $(7\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $(-7\sqrt{2}, -\sqrt{2})$, $(-7\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $(7\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ (x - 3)(y - 5) = 0. \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $x - 3 = 0$ или $y - 5 = 0$. Рассмотрим каждый случай.

1. Случай, когда $x - 3 = 0$:

Тогда $x = 3$. Подставим это значение в первое уравнение:

$3^2 + y^2 = 25$

$9 + y^2 = 25$

$y^2 = 16 \Rightarrow y = \pm4$.

Получаем два решения: $(3, 4)$ и $(3, -4)$.

2. Случай, когда $y - 5 = 0$:

Тогда $y = 5$. Подставим это значение в первое уравнение:

$x^2 + 5^2 = 25$

$x^2 + 25 = 25$

$x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$.

Получаем еще одно решение: $(0, 5)$.

Ответ: $(3, 4)$, $(3, -4)$, $(0, 5)$.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 50, \\ x(y + 1) = 0. \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $x = 0$ или $y + 1 = 0$. Рассмотрим каждый случай.

1. Случай, когда $x = 0$:

Подставим это значение в первое уравнение:

$0^2 - y^2 = 50$

$-y^2 = 50$

$y^2 = -50$

Это уравнение не имеет действительных решений.

2. Случай, когда $y + 1 = 0$:

Тогда $y = -1$. Подставим это значение в первое уравнение:

$x^2 - (-1)^2 = 50$

$x^2 - 1 = 50$

$x^2 = 51 \Rightarrow x = \pm\sqrt{51}$.

Получаем два решения: $(\sqrt{51}, -1)$ и $(-\sqrt{51}, -1)$.

Ответ: $(\sqrt{51}, -1)$, $(-\sqrt{51}, -1)$.