Номер 526, страница 140 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

526. При каких значениях $m$ система уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ x - y = m \end{cases}$ имеет: а) одно решение; б) два решения?

Данная система уравнений состоит из уравнения окружности и уравнения прямой. Количество решений системы соответствует количеству точек пересечения их графиков. Для нахождения этих точек решим систему аналитически, методом подстановки.

Система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ x - y = m \end{cases} $

Из второго уравнения выразим переменную $x$:
$x = y + m$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:
$(y + m)^2 + y^2 = 5$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно переменной $y$:
$(y^2 + 2my + m^2) + y^2 = 5$
$2y^2 + 2my + m^2 - 5 = 0$

Количество решений этого квадратного уравнения (и, следовательно, всей системы) зависит от знака его дискриминанта $D$. Для уравнения вида $ay^2 + by + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае коэффициенты равны: $a = 2$, $b = 2m$, $c = m^2 - 5$.

Найдем дискриминант:
$D = (2m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (m^2 - 5)$
$D = 4m^2 - 8(m^2 - 5)$
$D = 4m^2 - 8m^2 + 40$
$D = 40 - 4m^2$

а) одно решение

Система имеет одно решение, когда квадратное уравнение имеет один корень, то есть когда его дискриминант равен нулю ($D = 0$).
$40 - 4m^2 = 0$
$4m^2 = 40$
$m^2 = 10$
$m = \pm\sqrt{10}$
Геометрически это означает, что прямая $x - y = m$ является касательной к окружности $x^2 + y^2 = 5$.
Ответ: при $m = \sqrt{10}$ и $m = -\sqrt{10}$.

б) два решения

Система имеет два решения, когда квадратное уравнение имеет два различных корня, то есть когда его дискриминант больше нуля ($D > 0$).
$40 - 4m^2 > 0$
$40 > 4m^2$
$10 > m^2$
$m^2 < 10$
Решением этого неравенства является интервал $-\sqrt{10} < m < \sqrt{10}$.
Геометрически это означает, что прямая $x - y = m$ пересекает окружность $x^2 + y^2 = 5$ в двух точках.
Ответ: при $m \in (-\sqrt{10}; \sqrt{10})$.