Номер 524, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

524. Изобразив схематически графики уравнений, определите, имеет ли решения система уравнений и сколько:

a) $\begin{cases} x^2 - y + 11 = 0, \\ y + x^2 = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 1, \\ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = |x|, \\ \frac{1}{2}x^3 - y = 0. \end{cases}$

а)Преобразуем уравнения системы, чтобы определить вид их графиков.Первое уравнение $x^2 - y + 11 = 0$ можно представить в виде $y = x^2 + 11$. Графиком этого уравнения является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 11)$. Все точки этой параболы имеют ординату $y \ge 11$.Второе уравнение $y + x^2 = 4$ можно представить в виде $y = -x^2 + 4$. Графиком этого уравнения является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 4)$. Все точки этой параболы имеют ординату $y \le 4$.Схематически, одна парабола расположена значительно выше другой. Поскольку минимальное значение $y$ для первой параболы равно $11$, а максимальное значение $y$ для второй параболы равно $4$, у графиков нет общих точек. Следовательно, система уравнений не имеет решений.
Ответ: решений нет.

б)Рассмотрим каждое уравнение системы.Первое уравнение $(x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 1$ является уравнением окружности с центром в точке $C_1(-3, -4)$ и радиусом $r_1 = \sqrt{1} = 1$.Второе уравнение $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$ является уравнением окружности с центром в точке $C_2(2, 1)$ и радиусом $r_2 = \sqrt{4} = 2$.Решения системы соответствуют точкам пересечения этих двух окружностей. Чтобы определить их количество, найдем расстояние $d$ между центрами окружностей и сравним его с суммой их радиусов.Расстояние между центрами $C_1$ и $C_2$ вычисляется по формуле:$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{(5)^2 + (5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50}$.Значение $\sqrt{50} \approx 7.07$.Сумма радиусов окружностей: $r_1 + r_2 = 1 + 2 = 3$.Так как расстояние между центрами $d = \sqrt{50}$ больше суммы радиусов $r_1 + r_2 = 3$, окружности не пересекаются и не касаются. Они расположены отдельно друг от друга. Таким образом, система не имеет решений.
Ответ: решений нет.

в)Рассмотрим графики уравнений системы.Первое уравнение $y = |x|$ задает график, состоящий из двух лучей, исходящих из начала координат: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$.Второе уравнение $\frac{1}{2}x^3 - y = 0$ можно переписать в виде $y = \frac{1}{2}x^3$. Это график кубической функции, который проходит через начало координат.Точки решения системы — это точки пересечения этих двух графиков.Заметим, что точка $(0, 0)$ является решением, так как удовлетворяет обоим уравнениям: $0 = |0|$ и $\frac{1}{2}(0)^3 - 0 = 0$.Для нахождения других решений рассмотрим два случая:1. При $x > 0$, система уравнений принимает вид: $y = x$ и $y = \frac{1}{2}x^3$. Приравнивая правые части, получаем $x = \frac{1}{2}x^3$. Так как $x > 0$, можно разделить обе части на $x$, получив $1 = \frac{1}{2}x^2$, откуда $x^2 = 2$. Положительным решением является $x = \sqrt{2}$. Соответствующее значение $y$ равно $y = x = \sqrt{2}$. Таким образом, мы нашли вторую точку пересечения $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$.2. При $x < 0$, система уравнений принимает вид: $y = -x$ и $y = \frac{1}{2}x^3$. Приравнивая правые части, получаем $-x = \frac{1}{2}x^3$, или $\frac{1}{2}x^3 + x = 0$. Выносим $x$ за скобки: $x(\frac{1}{2}x^2 + 1) = 0$. Так как выражение в скобках $\frac{1}{2}x^2 + 1$ всегда положительно (поскольку $x^2 \ge 0$), единственным вещественным решением этого уравнения является $x = 0$. Но это значение не удовлетворяет условию $x < 0$. Следовательно, в этой области пересечений нет.Таким образом, графики уравнений пересекаются ровно в двух точках.
Ответ: 2 решения.