Номер 523, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

523. Решите графически систему уравнений:

a) $ \begin{cases} y + x + x^2 = 0, \\ x - y = 10; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} (x - 2)^2 + y^2 = 9, \\ y = x^2 - 4x + 4; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = 2x^2 - 14; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ xy = 3; \end{cases} $

д) $ \begin{cases} x + y = 8, \\ (x + 1)^2 + y^2 = 81; \end{cases} $

е) $ \begin{cases} y = -x^2 + 4, \\ y = |x|. \end{cases} $

Для решения систем уравнений графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения в системе и найти координаты точек их пересечения.

а)
Система уравнений: $ \begin{cases} y + x + x^2 = 0 \\ x - y = 10 \end{cases} $
1. Преобразуем первое уравнение: $y = -x^2 - x$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы: $x_0 = -b/(2a) = -(-1)/(2 \cdot (-1)) = -0.5$. $y_0 = -(-0.5)^2 - (-0.5) = -0.25 + 0.5 = 0.25$. Вершина находится в точке $(-0.5, 0.25)$.
2. Преобразуем второе уравнение: $y = x - 10$. Это уравнение прямой. Для построения достаточно двух точек, например, $(0, -10)$ и $(10, 0)$.
3. Построим графики параболы и прямой на одной координатной плоскости. Точки пересечения графиков являются решениями системы. Видно, что графики пересекаются в двух точках.
Ответ: $(\frac{-2+\sqrt{44}}{2}, \frac{-22+\sqrt{44}}{2})$, $(\frac{-2-\sqrt{44}}{2}, \frac{-22-\sqrt{44}}{2})$ или, упрощая, $(-1+\sqrt{11}, -11+\sqrt{11})$, $(-1-\sqrt{11}, -11-\sqrt{11})$.

б)
Система уравнений: $ \begin{cases} (x - 2)^2 + y^2 = 9 \\ y = x^2 - 4x + 4 \end{cases} $
1. Первое уравнение $(x - 2)^2 + y^2 = 3^2$ — это уравнение окружности с центром в точке $(2, 0)$ и радиусом $R=3$.
2. Второе уравнение $y = x^2 - 4x + 4$ можно представить в виде $y = (x - 2)^2$. Это уравнение параболы с вершиной в точке $(2, 0)$ и ветвями, направленными вверх.
3. Построим графики окружности и параболы. Вершина параболы совпадает с центром окружности. Парабола, выходя из центра, пересекает окружность в двух точках, симметричных относительно оси $x=2$.
Ответ: $(2 + \sqrt{\frac{\sqrt{37}-1}{2}}, \frac{\sqrt{37}-1}{2})$, $(2 - \sqrt{\frac{\sqrt{37}-1}{2}}, \frac{\sqrt{37}-1}{2})$.

в)
Система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y = 2x^2 - 14 \end{cases} $
1. Первое уравнение $x^2 + y^2 = 5^2$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=5$.
2. Второе уравнение $y = 2x^2 - 14$ — это уравнение параболы с вершиной в точке $(0, -14)$ и ветвями, направленными вверх.
3. Построим графики окружности и параболы. Вершина параболы находится ниже окружности. Парабола симметрична относительно оси OY, как и окружность. Графики пересекаются в четырех точках.
Ответ: $(3, 4)$, $(-3, 4)$, $(\frac{\sqrt{19}}{2}, -4.5)$, $(-\frac{\sqrt{19}}{2}, -4.5)$.

г)
Система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = 3 \end{cases} $
1. Первое уравнение $x^2 + y^2 = (\sqrt{10})^2$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=\sqrt{10} \approx 3.16$.
2. Второе уравнение $y = 3/x$ — это уравнение гиперболы, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.
3. Построим графики окружности и гиперболы. Графики симметричны относительно начала координат и пересекаются в четырех точках.
Ответ: $(1, 3)$, $(3, 1)$, $(-1, -3)$, $(-3, -1)$.

д)
Система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 8 \\ (x + 1)^2 + y^2 = 81 \end{cases} $
1. Первое уравнение $y = -x + 8$ — это уравнение прямой. Для построения можно взять точки $(0, 8)$ и $(8, 0)$.
2. Второе уравнение $(x + 1)^2 + y^2 = 9^2$ — это уравнение окружности с центром в точке $(-1, 0)$ и радиусом $R=9$.
3. Построим графики прямой и окружности. Они пересекаются в двух точках.
Ответ: $(-1, 9)$, $(8, 0)$.

е)
Система уравнений: $ \begin{cases} y = -x^2 + 4 \\ y = |x| \end{cases} $
1. Первое уравнение $y = -x^2 + 4$ — это уравнение параболы с вершиной в точке $(0, 4)$ и ветвями, направленными вниз.
2. Второе уравнение $y = |x|$ — это график, состоящий из двух лучей: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.
3. Построим графики параболы и модуля. Оба графика симметричны относительно оси OY. Они пересекаются в двух точках.
Ответ: $(\frac{\sqrt{17}-1}{2}, \frac{\sqrt{17}-1}{2})$, $(\frac{1-\sqrt{17}}{2}, \frac{\sqrt{17}-1}{2})$.