Номер 516, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

516. Докажите, что уравнение не имеет решений:

а) $x^2 + 4xy + 4y^2 + 5 = 0;$

б) $x^2 - 2xy + 8 + y^2 = 0;$

в) $x^2 - 2x + y^2 - 4y + 6 = 0;$

г) $x^2y^2 - 2xy + 3 = 0.$

а) $x^2 + 4xy + 4y^2 + 5 = 0$

Преобразуем левую часть уравнения, выделив в ней полный квадрат. Выражение $x^2 + 4xy + 4y^2$ является полным квадратом суммы $(x + 2y)^2$.

Уравнение принимает вид:

$(x + 2y)^2 + 5 = 0$

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x + 2y)^2 \ge 0$. Сумма неотрицательного выражения и положительного числа 5 всегда положительна: $(x + 2y)^2 + 5 \ge 5$. Левая часть уравнения не может равняться нулю, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: Доказано, что уравнение не имеет решений.

б) $x^2 - 2xy + 8 + y^2 = 0$

Перегруппируем слагаемые и выделим полный квадрат: $(x^2 - 2xy + y^2) + 8 = 0$.

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(x - y)^2$. Уравнение принимает вид:

$(x - y)^2 + 8 = 0$

Так как $(x - y)^2 \ge 0$ для любых действительных $x$ и $y$, левая часть уравнения всегда больше или равна 8. Таким образом, она не может равняться нулю, и уравнение не имеет решений.

Ответ: Доказано, что уравнение не имеет решений.

в) $x^2 - 2x + y^2 - 4y + 6 = 0$

Выделим полные квадраты для переменных $x$ и $y$. Для этого сгруппируем слагаемые и представим константу 6 как сумму $1 + 4 + 1$:

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + 1 = 0$

Это выражение можно переписать в виде суммы квадратов:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 1 = 0$

Сумма двух квадратов $(x - 1)^2$ и $(y - 2)^2$ неотрицательна. Прибавив к ней 1, мы получим выражение, которое всегда больше или равно 1: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 1 \ge 1$. Левая часть не может быть равна нулю, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: Доказано, что уравнение не имеет решений.

г) $x^2y^2 - 2xy + 3 = 0$

Сделаем замену переменной $z = xy$. Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $z$:

$z^2 - 2z + 3 = 0$

Выделим в левой части полный квадрат: $(z^2 - 2z + 1) + 2 = 0$, что равносильно $(z - 1)^2 + 2 = 0$.

Выражение $(z - 1)^2$ всегда неотрицательно, поэтому левая часть уравнения $(z - 1)^2 + 2$ всегда больше или равна 2. Это означает, что уравнение не имеет действительных решений для $z$. Поскольку $z = xy$, то и исходное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: Доказано, что уравнение не имеет решений.