Номер 509, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

509. Найдите все решения системы уравнений:

a) $\begin{cases} x^2 - 3xy + 14 = 0, \\ 3x^2 + 2xy - 24 = 0; \end{cases}$ б) $\begin{cases} 2x^2 - 6y = xy, \\ 3x^2 - 8y = 0,5xy. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 3xy + 14 = 0 \\ 3x^2 + 2xy - 24 = 0 \end{cases}$

Это система нелинейных уравнений. Для ее решения можно использовать метод алгебраического сложения, чтобы исключить один из членов. Умножим первое уравнение на 12, а второе на 7, чтобы избавиться от свободных членов после сложения. Для этого сначала перенесем их в правую часть:

$\begin{cases} x^2 - 3xy = -14 \\ 3x^2 + 2xy = 24 \end{cases}$

$\begin{cases} 12(x^2 - 3xy) = 12(-14) \\ 7(3x^2 + 2xy) = 7(24) \end{cases}$

$\begin{cases} 12x^2 - 36xy = -168 \\ 21x^2 + 14xy = 168 \end{cases}$

Теперь сложим эти два уравнения:

$(12x^2 - 36xy) + (21x^2 + 14xy) = -168 + 168$

$33x^2 - 22xy = 0$

Вынесем общий множитель $11x$ за скобки:

$11x(3x - 2y) = 0$

Это уравнение распадается на два случая:

1. $11x = 0 \implies x = 0$.

Подставим $x = 0$ в первое исходное уравнение:

$0^2 - 3 \cdot 0 \cdot y + 14 = 0$

$14 = 0$

Получили противоречие, следовательно, $x=0$ не является решением системы.

2. $3x - 2y = 0 \implies 2y = 3x \implies y = \frac{3}{2}x$.

Подставим это выражение для $y$ в первое исходное уравнение:

$x^2 - 3x(\frac{3}{2}x) + 14 = 0$

$x^2 - \frac{9}{2}x^2 + 14 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2x^2 - 9x^2 + 28 = 0$

$-7x^2 + 28 = 0$

$7x^2 = 28$

$x^2 = 4$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя соотношение $y = \frac{3}{2}x$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = \frac{3}{2} \cdot (-2) = -3$.

Таким образом, мы получили две пары решений: $(2, 3)$ и $(-2, -3)$.

Проверим эти решения, подставив их во второе исходное уравнение $3x^2 + 2xy - 24 = 0$:

Для пары $(2, 3)$:

$3(2)^2 + 2(2)(3) - 24 = 3 \cdot 4 + 12 - 24 = 12 + 12 - 24 = 0$. Верно.

Для пары $(-2, -3)$:

$3(-2)^2 + 2(-2)(-3) - 24 = 3 \cdot 4 + 12 - 24 = 12 + 12 - 24 = 0$. Верно.

Ответ: $(2, 3), (-2, -3)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x^2 - 6y = xy \\ 3x^2 - 8y = 0,5xy \end{cases}$

Сначала проверим, является ли пара $(0, 0)$ решением системы. Подставив $x=0$ и $y=0$ в оба уравнения, получаем верные равенства $0=0$. Следовательно, $(0, 0)$ — одно из решений.

Для поиска других решений преобразуем второе уравнение, умножив его на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$2(3x^2 - 8y) = 2(0,5xy)$

$6x^2 - 16y = xy$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 2x^2 - 6y = xy \\ 6x^2 - 16y = xy \end{cases}$

Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:

$2x^2 - 6y = 6x^2 - 16y$

Перенесем члены с $y$ в левую часть, а с $x$ — в правую:

$16y - 6y = 6x^2 - 2x^2$

$10y = 4x^2$

Выразим $y$ через $x$:

$y = \frac{4x^2}{10} = \frac{2}{5}x^2$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое исходное уравнение $2x^2 - 6y = xy$:

$2x^2 - 6\left(\frac{2}{5}x^2\right) = x\left(\frac{2}{5}x^2\right)$

$2x^2 - \frac{12}{5}x^2 = \frac{2}{5}x^3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$\frac{10x^2 - 12x^2}{5} = \frac{2}{5}x^3$

$-\frac{2}{5}x^2 = \frac{2}{5}x^3$

Перенесем все члены в одну сторону и умножим на $\frac{5}{2}$:

$x^3 + x^2 = 0$

Вынесем $x^2$ за скобки:

$x^2(x + 1) = 0$

Это уравнение дает два возможных значения для $x$:

1. $x^2 = 0 \implies x = 0$.

Если $x = 0$, то $y = \frac{2}{5}(0)^2 = 0$. Это дает нам уже найденное решение $(0, 0)$.

2. $x + 1 = 0 \implies x = -1$.

Если $x = -1$, то найдем соответствующее значение $y$:

$y = \frac{2}{5}(-1)^2 = \frac{2}{5} \cdot 1 = \frac{2}{5}$.

Таким образом, мы получили второе решение: $(-1, \frac{2}{5})$.

Проверим это решение, подставив его во второе исходное уравнение $3x^2 - 8y = 0,5xy$:

$3(-1)^2 - 8\left(\frac{2}{5}\right) = 0,5(-1)\left(\frac{2}{5}\right)$

$3 \cdot 1 - \frac{16}{5} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}$

$\frac{15}{5} - \frac{16}{5} = -\frac{1}{5}$

$-\frac{1}{5} = -\frac{1}{5}$. Верно.

Ответ: $(0, 0), (-1, \frac{2}{5})$.