Номер 508, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

508. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x^2 + xy - 2y^2 - x + y = 0, \\ x^2 + y^2 = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - 6xy + 5y^2 - x + 5y = 0, \\ x^2 - 20y^2 = 5. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + xy - 2y^2 - x + y = 0, \\ x^2 + y^2 = 8. \end{cases} $$

Рассмотрим первое уравнение. Сгруппируем члены с квадратами и линейные члены:

$$ (x^2 + xy - 2y^2) - (x - y) = 0 $$

Разложим на множители квадратичную часть $x^2 + xy - 2y^2$. Если рассматривать ее как квадратный трехчлен относительно $x$, то его корнями будут $y$ и $-2y$. Таким образом, $x^2 + xy - 2y^2 = (x - y)(x + 2y)$.

Подставим это в первое уравнение системы:

$$ (x - y)(x + 2y) - (x - y) = 0 $$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$$ (x - y)(x + 2y - 1) = 0 $$

Это уравнение распадается на два случая:

1) $x - y = 0 \implies x = y$

2) $x + 2y - 1 = 0 \implies x = 1 - 2y$

Рассмотрим каждый случай отдельно, подставляя полученное выражение во второе уравнение системы $x^2 + y^2 = 8$.

Случай 1: $x = y$

Подставляем во второе уравнение:

$$ y^2 + y^2 = 8 $$

$$ 2y^2 = 8 $$

$$ y^2 = 4 $$

$$ y_1 = 2, \quad y_2 = -2 $$

Поскольку $x = y$, получаем две пары решений: $(2, 2)$ и $(-2, -2)$.

Случай 2: $x = 1 - 2y$

Подставляем во второе уравнение:

$$ (1 - 2y)^2 + y^2 = 8 $$

$$ 1 - 4y + 4y^2 + y^2 = 8 $$

$$ 5y^2 - 4y - 7 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 16 + 140 = 156$.

Корни для $y$:

$$ y = \frac{4 \pm \sqrt{156}}{10} = \frac{4 \pm 2\sqrt{39}}{10} = \frac{2 \pm \sqrt{39}}{5} $$

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_3 = \frac{2 + \sqrt{39}}{5}$, то $x_3 = 1 - 2\left(\frac{2 + \sqrt{39}}{5}\right) = \frac{5 - 4 - 2\sqrt{39}}{5} = \frac{1 - 2\sqrt{39}}{5}$.

Если $y_4 = \frac{2 - \sqrt{39}}{5}$, то $x_4 = 1 - 2\left(\frac{2 - \sqrt{39}}{5}\right) = \frac{5 - 4 + 2\sqrt{39}}{5} = \frac{1 + 2\sqrt{39}}{5}$.

Таким образом, получаем еще две пары решений: $\left(\frac{1 - 2\sqrt{39}}{5}, \frac{2 + \sqrt{39}}{5}\right)$ и $\left(\frac{1 + 2\sqrt{39}}{5}, \frac{2 - \sqrt{39}}{5}\right)$.

Ответ: $(2, 2)$, $(-2, -2)$, $\left(\frac{1 - 2\sqrt{39}}{5}, \frac{2 + \sqrt{39}}{5}\right)$, $\left(\frac{1 + 2\sqrt{39}}{5}, \frac{2 - \sqrt{39}}{5}\right)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - 6xy + 5y^2 - x + 5y = 0, \\ x^2 - 20y^2 = 5. \end{cases} $$

Рассмотрим первое уравнение. Сгруппируем члены:

$$ (x^2 - 6xy + 5y^2) - (x - 5y) = 0 $$

Разложим на множители квадратичную часть $x^2 - 6xy + 5y^2$. Если рассматривать ее как квадратный трехчлен относительно $x$, то его корнями будут $y$ и $5y$. Таким образом, $x^2 - 6xy + 5y^2 = (x - y)(x - 5y)$.

Подставим это в первое уравнение системы:

$$ (x - y)(x - 5y) - (x - 5y) = 0 $$

Вынесем общий множитель $(x - 5y)$ за скобки:

$$ (x - 5y)(x - y - 1) = 0 $$

Это уравнение распадается на два случая:

1) $x - 5y = 0 \implies x = 5y$

2) $x - y - 1 = 0 \implies x = y + 1$

Рассмотрим каждый случай отдельно, подставляя полученное выражение во второе уравнение системы $x^2 - 20y^2 = 5$.

Случай 1: $x = 5y$

Подставляем во второе уравнение:

$$ (5y)^2 - 20y^2 = 5 $$

$$ 25y^2 - 20y^2 = 5 $$

$$ 5y^2 = 5 $$

$$ y^2 = 1 $$

$$ y_1 = 1, \quad y_2 = -1 $$

Поскольку $x = 5y$, получаем две пары решений:

При $y = 1$, $x = 5(1) = 5$. Решение: $(5, 1)$.

При $y = -1$, $x = 5(-1) = -5$. Решение: $(-5, -1)$.

Случай 2: $x = y + 1$

Подставляем во второе уравнение:

$$ (y + 1)^2 - 20y^2 = 5 $$

$$ y^2 + 2y + 1 - 20y^2 = 5 $$

$$ -19y^2 + 2y - 4 = 0 $$

$$ 19y^2 - 2y + 4 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 19 \cdot 4 = 4 - 304 = -300$.

Так как дискриминант $D < 0$, то в данном случае действительных решений нет.

Ответ: $(5, 1)$, $(-5, -1)$.