Номер 4, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

4 Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств

$$\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 36, \\ x + y \leq 6. \end{cases}$$

Для того чтобы изобразить на координатной плоскости множество решений данной системы неравенств, необходимо проанализировать каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их множеств решений.

Анализ первого неравенства: $x^2 + y^2 \le 36$

Уравнение $x^2 + y^2 = 36$ задает окружность с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $r = \sqrt{36} = 6$. Неравенство $x^2 + y^2 \le 36$ описывает все точки, расстояние от которых до центра $(0, 0)$ не превышает $6$. Таким образом, решением этого неравенства является замкнутый круг — все точки внутри окружности и на самой окружности.

Анализ второго неравенства: $x + y \le 6$

Уравнение $x + y = 6$ задает прямую линию. Ее можно представить в виде $y = -x + 6$. Это прямая, проходящая через точки $(0, 6)$ (пересечение с осью $Oy$) и $(6, 0)$ (пересечение с осью $Ox$). Неравенство $x + y \le 6$ определяет полуплоскость, лежащую по одну сторону от этой прямой. Чтобы определить, какую именно, можно использовать тестовую точку, например, начало координат $(0, 0)$. Подставляем ее координаты в неравенство: $0 + 0 \le 6$, что дает верное утверждение $0 \le 6$. Следовательно, множество решений этого неравенства — это полуплоскость, которая содержит начало координат, то есть область, расположенная ниже прямой $x + y = 6$, включая саму прямую.

Построение множества решений системы

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств. Это область, которая одновременно находится внутри или на границе круга с радиусом $6$ и ниже или на прямой $y = -x + 6$.

Прямая $x + y = 6$ проходит через точки $(6, 0)$ и $(0, 6)$, которые лежат на окружности $x^2 + y^2 = 36$, так как $6^2 + 0^2 = 36$ и $0^2 + 6^2 = 36$. Эта прямая является хордой данной окружности.

Искомое множество точек — это часть круга $x^2 + y^2 \le 36$, отсекаемая прямой $x + y = 6$. Поскольку эта область должна содержать начало координат $(0,0)$, это будет больший из двух сегментов, на которые хорда делит круг.

Таким образом, на координатной плоскости $Oxy$ искомое множество представляет собой фигуру, ограниченную отрезком прямой $x+y=6$ между точками $(6,0)$ и $(0,6)$ и большей дугой окружности $x^2+y^2=36$, соединяющей эти же точки. Вся закрашенная область, включая ее границы, и является решением.

Ответ: Множество решений системы неравенств представляет собой сегмент круга $x^2 + y^2 \le 36$, который отсекается прямой $x+y=6$. Этот сегмент является большей частью круга и содержит начало координат. Его границы — это отрезок прямой, соединяющий точки $(6,0)$ и $(0,6)$, и дуга окружности, которая ограничивает круг и лежит в полуплоскости $x+y \le 6$.