Номер 505, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

505. Найдите область определения функции $y = \sqrt{x - 5} + \sqrt{15 - x}$.

a) Треугольная область, ограниченная точками (-2, 0), (2, 0) и (0, 3).

б) Кольцевая область, ограниченная двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат (0,0) и радиусами 5 и 10.

Рис. 73

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = \sqrt{x-5} + \sqrt{15-x}$ содержит два квадратных корня. Выражение под знаком квадратного корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным. Следовательно, должны одновременно выполняться два условия: $x - 5 \ge 0$ и $15 - x \ge 0$.

Решим эту систему неравенств. Из первого неравенства получаем: $x \ge 5$. Из второго неравенства получаем: $15 \ge x$, что равносильно $x \le 15$.

Таким образом, переменная $x$ должна удовлетворять обоим условиям одновременно: $x \ge 5$ и $x \le 15$. Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство: $5 \le x \le 15$. Это означает, что область определения функции представляет собой числовой отрезок от 5 до 15, включая концы.

Ответ: $[5; 15]$.

a)

На рисунке изображена область, представляющая собой треугольник. Для описания этой области с помощью неравенств, найдем уравнения прямых, которые являются границами этого треугольника. Вершины треугольника находятся в точках $(-2, 0)$, $(2, 0)$ и $(0, 3)$.

1. Нижняя граница треугольника лежит на оси абсцисс (ось $x$), уравнение которой $y=0$. Так как заштрихованная область находится выше этой оси, то первое неравенство: $y \ge 0$.

2. Правая сторона треугольника — это отрезок, соединяющий точки $(2, 0)$ и $(0, 3)$. Найдем уравнение прямой, проходящей через эти точки. Угловой коэффициент $k = \frac{3 - 0}{0 - 2} = -\frac{3}{2}$. Прямая пересекает ось ординат в точке $(0, 3)$, поэтому ее уравнение: $y = -\frac{3}{2}x + 3$. Область находится ниже и левее этой прямой, поэтому второе неравенство: $y \le -\frac{3}{2}x + 3$.

3. Левая сторона треугольника — это отрезок, соединяющий точки $(-2, 0)$ и $(0, 3)$. Найдем уравнение прямой, проходящей через эти точки. Угловой коэффициент $k = \frac{3 - 0}{0 - (-2)} = \frac{3}{2}$. Прямая пересекает ось ординат в точке $(0, 3)$, поэтому ее уравнение: $y = \frac{3}{2}x + 3$. Область находится ниже и правее этой прямой, поэтому третье неравенство: $y \le \frac{3}{2}x + 3$.

Эти три неравенства задают искомую область. Последние два неравенства $y \le -\frac{3}{2}x + 3$ и $y \le \frac{3}{2}x + 3$ можно объединить в одно с помощью модуля: $y \le 3 - \frac{3}{2}|x|$.

Ответ: Область задается системой неравенств $y \ge 0$ и $y \le 3 - \frac{3}{2}|x|$.

б)

На рисунке изображена область, представляющая собой кольцо (аннулюс) с центром в начале координат — точке $(0, 0)$. Эта область ограничена двумя концентрическими окружностями.

1. Внутренняя окружность имеет радиус $r_1 = 5$. Ее уравнение $x^2 + y^2 = 5^2$, то есть $x^2 + y^2 = 25$.

2. Внешняя окружность имеет радиус $r_2 = 10$. Ее уравнение $x^2 + y^2 = 10^2$, то есть $x^2 + y^2 = 100$.

Заштрихованная область включает все точки, которые находятся на внешней окружности или внутри нее, и одновременно на внутренней окружности или вне ее. Расстояние от любой точки $(x, y)$ до центра $(0, 0)$ равно $\sqrt{x^2 + y^2}$. Для точек заштрихованной области это расстояние должно быть не меньше радиуса внутренней окружности ($r_1=5$) и не больше радиуса внешней окружности ($r_2=10$).

Это можно записать в виде двойного неравенства: $5 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 10$.

Поскольку все части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, чтобы избавиться от корня: $5^2 \le x^2 + y^2 \le 10^2$.

Ответ: $25 \le x^2 + y^2 \le 100$.