Номер 500, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

500. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы:

а) $ \begin{cases} y \ge x^2, \\ y \le 4; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4, \\ x - y \ge 0; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9, \\ (x - 3)^2 + y^2 \le 9; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} (x - 2)^2 + (y + 1)^2 \ge 1, \\ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 \le 9. \end{cases} $

а) Решение данной системы неравенств $ \begin{cases} y \ge x^2, \\ y \le 4; \end{cases} $ требует найти на координатной плоскости область, удовлетворяющую обоим условиям.

Неравенство $y \ge x^2$ задает множество точек, которые лежат на параболе $y = x^2$ или выше нее. Вершина этой параболы находится в начале координат $(0,0)$, а ее ветви направлены вверх.

Неравенство $y \le 4$ задает полуплоскость, которая включает в себя горизонтальную прямую $y=4$ и все точки под ней.

Искомое множество решений является пересечением этих двух областей. Это область, ограниченная снизу дугой параболы $y=x^2$ и сверху отрезком прямой $y=4$. Так как оба неравенства нестрогие, границы области (парабола и прямая) включаются в решение. Найдем точки пересечения этих линий: $x^2 = 4$, что дает $x=2$ и $x=-2$. Таким образом, точки пересечения — это $(-2, 4)$ и $(2, 4)$.

Ответ: Множество решений представляет собой фигуру, ограниченную снизу параболой $y=x^2$, а сверху — отрезком прямой $y=4$, соединяющим точки $(-2, 4)$ и $(2, 4)$.

б) Рассмотрим систему неравенств $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4, \\ x - y \ge 0; \end{cases} $

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 4$ описывает круг с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Решение включает в себя все точки внутри круга и на его границе (окружности), так как неравенство нестрогое.

Второе неравенство $x - y \ge 0$ можно переписать как $y \le x$. Оно задает полуплоскость, расположенную на прямой $y=x$ и ниже нее. Прямая $y=x$ является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть круга $x^2 + y^2 \le 4$, которая находится на прямой $y=x$ или под ней.

Ответ: Множество решений — это сегмент круга с центром в $(0,0)$ и радиусом $2$, отсекаемый прямой $y=x$ и расположенный под этой прямой, включая границы.

в) Изобразим множество решений системы $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9, \\ (x-3)^2 + y^2 \le 9; \end{cases} $

Неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает круг с центром в точке $O_1(0,0)$ и радиусом $R_1 = \sqrt{9} = 3$, включая его границу.

Неравенство $(x - 3)^2 + y^2 \le 9$ задает круг с центром в точке $O_2(3,0)$ и радиусом $R_2 = \sqrt{9} = 3$, также включая границу.

Решением системы является общая часть этих двух кругов. Это область их пересечения. Чтобы найти точки пересечения окружностей, решим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ (x - 3)^2 + y^2 = 9 \end{cases} $. Из первого уравнения $y^2 = 9 - x^2$. Подставим во второе: $(x - 3)^2 + (9 - x^2) = 9$. Раскрыв скобки, получаем $x^2 - 6x + 9 + 9 - x^2 = 9$, откуда $-6x = -9$, и $x = 1.5$. Найдем $y$: $y^2 = 9 - (1.5)^2 = 9 - 2.25 = 6.75$. Тогда $y = \pm\sqrt{6.75} = \pm\frac{3\sqrt{3}}{2}$. Точки пересечения границ: $(1.5, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ и $(1.5, -\frac{3\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: Множество решений — это область пересечения двух кругов радиусом $3$ каждый, с центрами в точках $(0,0)$ и $(3,0)$. Геометрически эта фигура представляет собой линзу, ограниченную дугами двух окружностей.

г) Рассмотрим систему $ \begin{cases} (x - 2)^2 + (y + 1)^2 \ge 1, \\ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 \le 9. \end{cases} $

Выражение $(x - 2)^2 + (y + 1)^2$ представляет собой квадрат расстояния от точки $(x,y)$ до центра $C(2, -1)$.

Первое неравенство $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 \ge 1$ задает множество точек, расположенных на окружности с центром $C(2, -1)$ и радиусом $r_1 = \sqrt{1} = 1$ и во внешней по отношению к ней области.

Второе неравенство $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 \le 9$ задает круг с тем же центром $C(2, -1)$ и радиусом $r_2 = \sqrt{9} = 3$, включая его границу.

Решением системы является пересечение этих двух множеств, то есть все точки, которые находятся на расстоянии от 1 до 3 (включительно) от точки $C(2, -1)$.

Ответ: Множество решений представляет собой кольцо, заключенное между двумя концентрическими окружностями с центром в точке $(2, -1)$, внутренним радиусом $r_1 = 1$ и внешним радиусом $r_2 = 3$. Обе граничные окружности включены в решение.