Номер 495, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

495. Решите систему уравнений

$\begin{cases} 5x - y - 2 = 0, \\ x^2 - 2xy + y^2 = 4. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 5x - y - 2 = 0 \\ x^2 - 2xy + y^2 = 4 \end{cases} $$

Преобразуем второе уравнение системы. Левая часть уравнения $x^2 - 2xy + y^2$ представляет собой формулу квадрата разности $(x - y)^2$.

Таким образом, второе уравнение можно переписать в виде:

$(x - y)^2 = 4$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных случая:

$x - y = 2$ или $x - y = -2$.

Это означает, что решение исходной системы эквивалентно решению совокупности двух систем линейных уравнений. Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $x - y = 2$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} 5x - y - 2 = 0 \\ x - y = 2 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = x - 2$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$5x - (x - 2) - 2 = 0$

$5x - x + 2 - 2 = 0$

$4x = 0$

$x = 0$

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = x - 2 = 0 - 2 = -2$

Таким образом, первая пара решений: $(0; -2)$.

Случай 2: $x - y = -2$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} 5x - y - 2 = 0 \\ x - y = -2 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = x + 2$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$5x - (x + 2) - 2 = 0$

$5x - x - 2 - 2 = 0$

$4x - 4 = 0$

$4x = 4$

$x = 1$

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = x + 2 = 1 + 2 = 3$

Таким образом, вторая пара решений: $(1; 3)$.

Итак, исходная система имеет два решения.

Ответ: $(0; -2), (1; 3)$.