Страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

493. Постройте график уравнения:

a) $x^2 - y^2 = 0;$

б) $\frac{x^2 - y}{x} = 0.$

а)

Дано уравнение $x^2 - y^2 = 0$.
Левую часть уравнения можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Получаем: $(x - y)(x + y) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности двух линейных уравнений:
1) $x - y = 0$, откуда $y = x$.
2) $x + y = 0$, откуда $y = -x$.
Графиком уравнения $y=x$ является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей.
Графиком уравнения $y=-x$ является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей.
График исходного уравнения представляет собой объединение этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся в точке $(0, 0)$ прямых, заданных уравнениями $y=x$ и $y=-x$.

б)

Дано уравнение $\frac{x^2 - y}{x} = 0$.
Дробь равна нулю в том и только в том случае, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это условие можно записать в виде системы:
$\begin{cases} x^2 - y = 0 \\ x \neq 0 \end{cases}$
Из первого уравнения системы выражаем $y$: $y = x^2$.
Графиком функции $y = x^2$ является парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.
Второе условие системы $x \neq 0$ (область допустимых значений) означает, что из графика параболы $y=x^2$ необходимо исключить точку, абсцисса которой равна нулю.
Если $x = 0$, то $y = 0^2 = 0$. Следовательно, точка $(0, 0)$ не принадлежит графику данного уравнения.
Таким образом, искомый график — это парабола $y = x^2$ с "выколотой" точкой в ее вершине.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y=x^2$ с выколотой вершиной в точке $(0, 0)$.

494. Представьте в виде рациональной дроби:

$\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{1 - x}{x^2 + 3x + 2}$

Чтобы представить выражение в виде рациональной дроби, необходимо выполнить вычитание дробей. Для этого приведем их к общему знаменателю.

Исходное выражение:

$ \frac{x-1}{x+2} - \frac{1-x}{x^2+3x+2} $

1. Разложим на множители знаменатель второй дроби $x^2+3x+2$. Для этого решим квадратное уравнение $x^2+3x+2=0$.

Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3+1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3-1}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $

Таким образом, знаменатель можно разложить на множители: $x^2+3x+2 = (x-x_1)(x-x_2) = (x-(-1))(x-(-2)) = (x+1)(x+2)$.

2. Перепишем исходное выражение с разложенным на множители знаменателем:

$ \frac{x-1}{x+2} - \frac{1-x}{(x+1)(x+2)} $

3. Общий знаменатель для дробей $ \frac{x-1}{x+2} $ и $ \frac{1-x}{(x+1)(x+2)} $ равен $(x+1)(x+2)$.

4. Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель $(x+1)$:

$ \frac{(x-1)(x+1)}{(x+2)(x+1)} - \frac{1-x}{(x+1)(x+2)} $

5. Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{(x-1)(x+1) - (1-x)}{(x+1)(x+2)} $

6. Упростим числитель. Выражение $(x-1)(x+1)$ является разностью квадратов и равно $x^2-1$. Раскроем скобки:

$ (x^2-1) - (1-x) = x^2 - 1 - 1 + x = x^2 + x - 2 $

Получим дробь:

$ \frac{x^2+x-2}{(x+1)(x+2)} $

7. Разложим числитель $x^2+x-2$ на множители. Для этого решим уравнение $x^2+x-2=0$.

$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1+8=9 $

$ x_1 = \frac{-1+\sqrt{9}}{2} = \frac{-1+3}{2} = 1 $

$ x_2 = \frac{-1-\sqrt{9}}{2} = \frac{-1-3}{2} = -2 $

Следовательно, $x^2+x-2 = (x-1)(x-(-2)) = (x-1)(x+2)$.

8. Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим:

$ \frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+2)} = \frac{x-1}{x+1} $

Сокращение возможно при условии, что $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. Это условие совпадает с областью допустимых значений исходного выражения.

Ответ: $ \frac{x-1}{x+1} $

495. Решите систему уравнений

$\begin{cases} 5x - y - 2 = 0, \\ x^2 - 2xy + y^2 = 4. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 5x - y - 2 = 0 \\ x^2 - 2xy + y^2 = 4 \end{cases} $$

Преобразуем второе уравнение системы. Левая часть уравнения $x^2 - 2xy + y^2$ представляет собой формулу квадрата разности $(x - y)^2$.

Таким образом, второе уравнение можно переписать в виде:

$(x - y)^2 = 4$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных случая:

$x - y = 2$ или $x - y = -2$.

Это означает, что решение исходной системы эквивалентно решению совокупности двух систем линейных уравнений. Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $x - y = 2$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} 5x - y - 2 = 0 \\ x - y = 2 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = x - 2$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$5x - (x - 2) - 2 = 0$

$5x - x + 2 - 2 = 0$

$4x = 0$

$x = 0$

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = x - 2 = 0 - 2 = -2$

Таким образом, первая пара решений: $(0; -2)$.

Случай 2: $x - y = -2$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} 5x - y - 2 = 0 \\ x - y = -2 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = x + 2$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$5x - (x + 2) - 2 = 0$

$5x - x - 2 - 2 = 0$

$4x - 4 = 0$

$4x = 4$

$x = 1$

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = x + 2 = 1 + 2 = 3$

Таким образом, вторая пара решений: $(1; 3)$.

Итак, исходная система имеет два решения.

Ответ: $(0; -2), (1; 3)$.