Страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

458. Одна из сторон прямоугольника на 14 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его диагональ равна 26 см.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ см. Согласно условию, большая сторона на 14 см больше, следовательно, ее длина составляет $(x + 14)$ см.

Диагональ прямоугольника делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника. Стороны прямоугольника являются катетами этих треугольников, а диагональ — их общей гипотенузой.

Применим теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$). Составим уравнение на основе данных задачи, где катеты — это стороны $x$ и $(x+14)$, а гипотенуза — диагональ, равная 26 см:

$x^2 + (x + 14)^2 = 26^2$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (x^2 + 2 \cdot x \cdot 14 + 14^2) = 676$

$x^2 + x^2 + 28x + 196 = 676$

$2x^2 + 28x + 196 - 676 = 0$

$2x^2 + 28x - 480 = 0$

Разделим все уравнение на 2, чтобы упростить вычисления:

$x^2 + 14x - 240 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 196 + 960 = 1156$

Корень из дискриминанта равен $\sqrt{1156} = 34$.

Теперь найдем значения $x$ по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-14 + 34}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-14 - 34}{2 \cdot 1} = \frac{-48}{2} = -24$

Так как длина стороны геометрической фигуры не может быть отрицательной, корень $x_2 = -24$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, длина меньшей стороны прямоугольника равна 10 см.

Найдем длину большей стороны, прибавив 14 см:

$10 + 14 = 24$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 10 см и 24 см.

459. Прямоугольный участок земли площадью $2400\,m^2$ обнесён изгородью, длина которой равна 200 м. Найдите длину и ширину этого участка.

Пусть длина прямоугольного участка равна $a$ метров, а ширина – $b$ метров.

Площадь участка ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Длина изгороди – это периметр прямоугольника ($P$), который вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.

Согласно условию задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

$a \cdot b = 2400$

$2(a + b) = 200$

Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 2:

$a + b = 100$

Теперь у нас есть система:

$\begin{cases} a + b = 100 \\ a \cdot b = 2400 \end{cases}$

Это классический случай, который можно решить с помощью теоремы Виета для квадратного уравнения. Длина $a$ и ширина $b$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (a+b)x + ab = 0$.

Подставим известные значения:

$x^2 - 100x + 2400 = 0$

Решим это уравнение. Можно найти корни по теореме Виета, подобрав два числа, сумма которых равна 100, а произведение — 2400. Этими числами являются 60 и 40, так как $60 + 40 = 100$ и $60 \cdot 40 = 2400$.

Также можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2400 = 10000 - 9600 = 400$

$\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$

$x_1 = \frac{-(-100) + 20}{2 \cdot 1} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{-(-100) - 20}{2 \cdot 1} = \frac{80}{2} = 40$

Таким образом, стороны прямоугольного участка равны 60 м и 40 м. Обычно длиной называют большую сторону, а шириной – меньшую.

Ответ: длина участка 60 м, ширина 40 м.

460. Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см, а его гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь этого треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

По условию задачи периметр треугольника $P=84$ см, а его гипотенуза $c=37$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон:
$P = a + b + c$
Зная периметр и гипотенузу, найдем сумму катетов:
$a + b = P - c = 84 - 37 = 47$ см.

Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:
$a^2 + b^2 = c^2$
Подставим значение гипотенузы:
$a^2 + b^2 = 37^2 = 1369$.

Площадь прямоугольного треугольника $S$ вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2}ab$
Для нахождения площади нам необходимо найти произведение катетов $ab$. Воспользуемся формулой квадрата суммы:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Выразим из этой формулы $2ab$:
$2ab = (a+b)^2 - (a^2 + b^2)$
Подставим ранее найденные значения $a+b=47$ и $a^2+b^2=1369$:
$2ab = 47^2 - 1369 = 2209 - 1369 = 840$.

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника. Из выражения $2ab = 840$ следует, что произведение катетов $ab = 420$.
Подставим это значение в формулу площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot 420 = 210$ см².

Ответ: 210 см².

461. Из некоторого пункта вышли одновременно два отряда. Один направился на север, а другой — на восток. Спустя 4 ч расстояние между отрядами было равно 24 км, причём первый отряд прошёл на 4,8 км больше, чем второй. С какой скоростью шёл каждый отряд?

Пусть скорость первого отряда (направлявшегося на север) равна $v_1$ км/ч, а скорость второго отряда (направлявшегося на восток) — $v_2$ км/ч. Время движения обоих отрядов составляет $t = 4$ часа.

За 4 часа первый отряд прошел расстояние $S_1 = v_1 \cdot t = 4v_1$ км.

Второй отряд за то же время прошел расстояние $S_2 = v_2 \cdot t = 4v_2$ км.

По условию задачи, первый отряд прошёл на 4,8 км больше, чем второй. Составим первое уравнение:

$S_1 = S_2 + 4,8$

Подставим выражения для расстояний через скорости:

$4v_1 = 4v_2 + 4,8$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы выразить одну скорость через другую:

$v_1 = v_2 + 1,2$

Поскольку один отряд двигался на север, а другой — на восток, их пути перпендикулярны. Таким образом, начальная точка и положения отрядов через 4 часа образуют прямоугольный треугольник. Расстояния, пройденные отрядами ($S_1$ и $S_2$), являются катетами этого треугольника, а расстояние между отрядами (24 км) — его гипотенузой.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$S_1^2 + S_2^2 = 24^2$

Подставим выражения для расстояний:

$(4v_1)^2 + (4v_2)^2 = 576$

$16v_1^2 + 16v_2^2 = 576$

Разделим обе части уравнения на 16:

$v_1^2 + v_2^2 = 36$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $v_1 = v_2 + 1,2$

2) $v_1^2 + v_2^2 = 36$

Подставим выражение для $v_1$ из первого уравнения во второе:

$(v_2 + 1,2)^2 + v_2^2 = 36$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$v_2^2 + 2 \cdot 1,2 \cdot v_2 + 1,2^2 + v_2^2 = 36$

$v_2^2 + 2,4v_2 + 1,44 + v_2^2 = 36$

$2v_2^2 + 2,4v_2 - 34,56 = 0$

Разделим всё уравнение на 2 для упрощения:

$v_2^2 + 1,2v_2 - 17,28 = 0$

Найдем корни уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (1,2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17,28) = 1,44 + 69,12 = 70,56$

$\sqrt{D} = \sqrt{70,56} = 8,4$

$v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1,2 \pm 8,4}{2}$

Один корень: $v_{2,1} = \frac{-1,2 + 8,4}{2} = \frac{7,2}{2} = 3,6$

Второй корень: $v_{2,2} = \frac{-1,2 - 8,4}{2} = \frac{-9,6}{2} = -4,8$

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем значение $v_2 = 3,6$ км/ч. Это скорость второго отряда.

Теперь найдем скорость первого отряда:

$v_1 = v_2 + 1,2 = 3,6 + 1,2 = 4,8$ км/ч.

Ответ: Скорость первого отряда, шедшего на север, равна 4,8 км/ч, а скорость второго отряда, шедшего на восток, — 3,6 км/ч.

462. От вершины прямого угла по его сторонам начинают одновременно двигаться два тела. Через 15 с расстояние между ними стало равно 3 м. С какой скоростью двигалось каждое тело, если известно, что первое прошло за 6 с такое же расстояние, какое второе прошло за 8 с?

Пусть $v_1$ — скорость первого тела, а $v_2$ — скорость второго тела. Оба тела начинают движение из вершины прямого угла, и их траектории перпендикулярны друг другу.

За время $t$ первое тело пройдет расстояние $s_1 = v_1 \cdot t$, а второе тело — $s_2 = v_2 \cdot t$.Поскольку тела движутся по сторонам прямого угла, расстояние $d$ между ними в любой момент времени $t$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются пройденные телами пути $s_1$ и $s_2$.

Согласно теореме Пифагора:$d^2 = s_1^2 + s_2^2$Подставив выражения для $s_1$ и $s_2$, получим:$d^2 = (v_1 t)^2 + (v_2 t)^2 = t^2 (v_1^2 + v_2^2)$

По условию, через $t = 15$ с расстояние между телами стало равно $d = 3$ м. Подставим эти значения в нашу формулу:$3^2 = 15^2 (v_1^2 + v_2^2)$$9 = 225 (v_1^2 + v_2^2)$Отсюда можем выразить сумму квадратов скоростей:$v_1^2 + v_2^2 = \frac{9}{225} = \frac{1}{25}$Это наше первое уравнение.

Второе условие задачи гласит, что первое тело прошло за $t_1 = 6$ с такое же расстояние, какое второе прошло за $t_2 = 8$ с. Запишем это в виде уравнения:$v_1 \cdot t_1 = v_2 \cdot t_2$$6v_1 = 8v_2$Выразим $v_1$ через $v_2$:$v_1 = \frac{8}{6} v_2 = \frac{4}{3} v_2$Это наше второе уравнение.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_1^2 + v_2^2 = \frac{1}{25} \\ v_1 = \frac{4}{3} v_2 \end{cases}$

Подставим выражение для $v_1$ из второго уравнения в первое:$(\frac{4}{3} v_2)^2 + v_2^2 = \frac{1}{25}$$\frac{16}{9} v_2^2 + v_2^2 = \frac{1}{25}$$(\frac{16}{9} + 1) v_2^2 = \frac{1}{25}$$(\frac{16}{9} + \frac{9}{9}) v_2^2 = \frac{1}{25}$$\frac{25}{9} v_2^2 = \frac{1}{25}$

Найдем $v_2^2$:$v_2^2 = \frac{1}{25} \cdot \frac{9}{25} = \frac{9}{625}$

Поскольку скорость является положительной величиной, извлечем квадратный корень:$v_2 = \sqrt{\frac{9}{625}} = \frac{3}{25}$ м/с.

Теперь найдем скорость первого тела $v_1$, подставив значение $v_2$ во второе уравнение:$v_1 = \frac{4}{3} v_2 = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{25} = \frac{4}{25}$ м/с.

Для удобства можно представить скорости в виде десятичных дробей:$v_1 = \frac{4}{25} = 0,16$ м/с.$v_2 = \frac{3}{25} = 0,12$ м/с.

Ответ: скорость первого тела равна $0,16$ м/с, а скорость второго тела — $0,12$ м/с.

463. На каждой из сторон прямоугольника построен квадрат. Сумма площадей квадратов равна $122 \text{ см}^2$. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его площадь равна $30 \text{ см}^2$.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S_{прям} = a \cdot b$. По условию, площадь равна 30 см², следовательно, у нас есть первое уравнение:
$a \cdot b = 30$

На каждой из четырех сторон прямоугольника построен квадрат. У прямоугольника две стороны длиной $a$ и две стороны длиной $b$. Соответственно, будут построены два квадрата со стороной $a$ и два квадрата со стороной $b$.

Площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$. Площадь квадрата со стороной $b$ равна $b^2$.
Сумма площадей всех четырех квадратов равна $S_{сумм} = a^2 + a^2 + b^2 + b^2 = 2a^2 + 2b^2$.
По условию, эта сумма равна 122 см², что дает нам второе уравнение:
$2a^2 + 2b^2 = 122$
Разделим обе части уравнения на 2:
$a^2 + b^2 = 61$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $a \cdot b = 30$
2) $a^2 + b^2 = 61$

Для решения этой системы воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Мы можем переписать ее как $(a+b)^2 = (a^2 + b^2) + 2(ab)$.
Подставим известные нам значения из системы уравнений:
$(a+b)^2 = 61 + 2 \cdot 30 = 61 + 60 = 121$
Отсюда, $a+b = \sqrt{121} = 11$ (так как длины сторон не могут быть отрицательными, их сумма тоже положительна).

Теперь мы имеем новую, более простую систему:
1) $a + b = 11$
2) $a \cdot b = 30$

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$, то есть $t^2 - 11t + 30 = 0$.
Решим это уравнение, найдя его корни. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$t_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, стороны прямоугольника равны 5 см и 6 см.

Проверим решение:
Площадь прямоугольника: $5 \cdot 6 = 30$ см² (верно).
Сумма площадей квадратов: $2 \cdot 5^2 + 2 \cdot 6^2 = 2 \cdot 25 + 2 \cdot 36 = 50 + 72 = 122$ см² (верно).

Ответ: стороны прямоугольника равны 5 см и 6 см.

464. Площадь прямоугольного треугольника равна $24 \text{ см}^2$, а его гипотенуза равна $10 \text{ см}$. Каковы катеты треугольника?

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. Площадь треугольника обозначим как $S$.

Согласно условию задачи, нам даны:

Площадь $S = 24$ см$^2$.

Гипотенуза $c = 10$ см.

Для решения задачи воспользуемся двумя основными формулами для прямоугольного треугольника:

1. Формула площади прямоугольного треугольника через катеты:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

2. Теорема Пифагора, связывающая катеты и гипотенузу:

$a^2 + b^2 = c^2$

Составим систему уравнений на основе этих формул и известных данных:

$\begin{cases} \frac{1}{2}ab = 24 \\ a^2 + b^2 = 10^2 \end{cases}$

Упростим эту систему:

$\begin{cases} ab = 48 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases}$

Для решения этой системы можно использовать следующий метод. Умножим первое уравнение на 2:

$2ab = 96$

Теперь рассмотрим формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2+b^2) + 2ab$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a^2+b^2) - 2ab$

Подставим известные значения $a^2+b^2 = 100$ и $2ab = 96$ в эти выражения:

$(a+b)^2 = 100 + 96 = 196$

$(a-b)^2 = 100 - 96 = 4$

Извлечем квадратные корни. Поскольку $a$ и $b$ — длины сторон, они положительны, поэтому их сумма также положительна.

$a+b = \sqrt{196} = 14$

$a-b = \pm\sqrt{4} = \pm2$

Теперь у нас есть две системы линейных уравнений. Решим каждую из них.

Случай 1:

$\begin{cases} a+b = 14 \\ a-b = 2 \end{cases}$

Сложим два уравнения: $(a+b)+(a-b) = 14+2$, что дает $2a = 16$, откуда $a = 8$.

Подставим значение $a=8$ в первое уравнение: $8+b=14$, откуда $b=6$.

В этом случае катеты равны 8 см и 6 см.

Случай 2:

$\begin{cases} a+b = 14 \\ a-b = -2 \end{cases}$

Сложим два уравнения: $(a+b)+(a-b) = 14-2$, что дает $2a = 12$, откуда $a = 6$.

Подставим значение $a=6$ в первое уравнение: $6+b=14$, откуда $b=8$.

В этом случае катеты равны 6 см и 8 см.

Оба случая приводят к одному и тому же набору длин катетов.

Проверим решение: площадь $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см$^2$. Сумма квадратов катетов $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, что равно квадрату гипотенузы $10^2$. Решение верное.

Ответ: катеты треугольника равны 6 см и 8 см.

465. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Если один из его катетов увеличить на 4 см, то гипотенуза увеличится на 2 см. Найдите катеты треугольника.

Пусть катеты исходного прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. По условию, гипотенуза $c = 13$ см.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$a^2 + b^2 = c^2$
$a^2 + b^2 = 13^2$
$a^2 + b^2 = 169$ (1)

По условию, если один из катетов (например, $a$) увеличить на 4 см, то его новая длина составит $(a + 4)$ см. Второй катет $b$ остается без изменений. Новая гипотенуза увеличится на 2 см и станет равна $13 + 2 = 15$ см.

Для нового, измененного, треугольника также применим теорему Пифагора:
$(a + 4)^2 + b^2 = 15^2$
$(a + 4)^2 + b^2 = 225$ (2)

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $a^2 + b^2 = 169$
2) $(a + 4)^2 + b^2 = 225$

Выразим $b^2$ из первого уравнения: $b^2 = 169 - a^2$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(a + 4)^2 + (169 - a^2) = 225$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$. Раскроем скобки:
$a^2 + 8a + 16 + 169 - a^2 = 225$

Упростим уравнение, сократив $a^2$ и $-a^2$:
$8a + 185 = 225$

Найдем $8a$:
$8a = 225 - 185$
$8a = 40$

Отсюда находим катет $a$:
$a = \frac{40}{8} = 5$ см.

Теперь найдем второй катет $b$, подставив значение $a=5$ в первое уравнение $a^2 + b^2 = 169$:
$5^2 + b^2 = 169$
$25 + b^2 = 169$
$b^2 = 169 - 25$
$b^2 = 144$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, извлекаем положительный квадратный корень:
$b = \sqrt{144} = 12$ см.

Следовательно, катеты исходного треугольника равны 5 см и 12 см.

Ответ: 5 см и 12 см.

466. Один комбайнёр может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной же работе они закончат уборку урожая за 35 ч. Сколько времени потребуется каждому комбайнёру, чтобы одному убрать урожай?

Это задача на совместную работу. Обозначим за $x$ время в часах, за которое первый (более быстрый) комбайнёр может убрать весь урожай, работая один. По условию задачи, он выполняет эту работу на 24 часа быстрее, чем второй.

Следовательно, время, которое потребуется второму комбайнёру для выполнения той же работы в одиночку, составляет $(x + 24)$ часов.

Производительность (часть работы, выполняемая за 1 час) первого комбайнёра равна $\frac{1}{x}$.

Производительность второго комбайнёра равна $\frac{1}{x+24}$.

При совместной работе их производительности складываются. Таким образом, их общая производительность составляет:

$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+24} $$

Из условия известно, что вместе они заканчивают уборку за 35 часов. Это означает, что их общая производительность равна $\frac{1}{35}$ всей работы в час. Теперь мы можем составить уравнение:

$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+24} = \frac{1}{35} $$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю:

$$ \frac{(x+24) + x}{x(x+24)} = \frac{1}{35} $$

$$ \frac{2x+24}{x^2+24x} = \frac{1}{35} $$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$$ 35(2x+24) = 1(x^2+24x) $$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$ 70x + 840 = x^2 + 24x $$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$ x^2 + 24x - 70x - 840 = 0 $$

$$ x^2 - 46x - 840 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$$ D = (-46)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-840) = 2116 + 3360 = 5476 $$

Найдем корни уравнения, используя формулу $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$$ \sqrt{D} = \sqrt{5476} = 74 $$

$$ x_1 = \frac{-(-46) + 74}{2 \cdot 1} = \frac{46 + 74}{2} = \frac{120}{2} = 60 $$

$$ x_2 = \frac{-(-46) - 74}{2 \cdot 1} = \frac{46 - 74}{2} = \frac{-28}{2} = -14 $$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -14$ не является решением задачи.

Таким образом, время, необходимое первому комбайнёру для уборки урожая, составляет $x = 60$ часов.

Время, необходимое второму комбайнёру, составляет:

$$ x + 24 = 60 + 24 = 84 \text{ часа} $$

Ответ: первому комбайнёру потребуется 60 часов, а второму — 84 часа.

467. Одна из дорожных бригад может заасфальтировать участок дороги на 4 ч быстрее, чем другая. За сколько часов может заасфальтировать участок каждая бригада, если за 24 ч совместной работы они заасфальтировали бы 5 таких участков?

Пусть время, за которое первая (более быстрая) бригада может заасфальтировать один участок дороги, составляет $x$ часов. Поскольку вторая бригада работает на 4 часа медленнее, ей потребуется $x + 4$ часа на выполнение той же работы.

Производительность труда (скорость работы) первой бригады равна $\frac{1}{x}$ участка в час, а производительность второй бригады — $\frac{1}{x+4}$ участка в час. При совместной работе их производительности складываются: $P_{совм} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}$ (участков в час).

Из условия задачи известно, что за 24 часа совместной работы бригады заасфальтировали 5 участков. Составим уравнение, используя формулу "Работа = Производительность × Время": $5 = \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}\right) \cdot 24$

Для решения уравнения сначала разделим обе части на 24 и приведем дроби в скобках к общему знаменателю: $\frac{5}{24} = \frac{x+4+x}{x(x+4)}$
$\frac{5}{24} = \frac{2x+4}{x^2+4x}$

Применим правило пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей: $5(x^2+4x) = 24(2x+4)$
$5x^2+20x = 48x+96$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $5x^2+20x - 48x - 96 = 0$
$5x^2 - 28x - 96 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-28)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-96) = 784 + 1920 = 2704$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{28 + 52}{2 \cdot 5} = \frac{80}{10} = 8$
$x_2 = \frac{28 - 52}{2 \cdot 5} = \frac{-24}{10} = -2.4$

Так как $x$ обозначает время, оно должно быть положительной величиной. Поэтому корень $x_2 = -2.4$ не является решением задачи. Таким образом, время выполнения работы первой бригадой составляет $x = 8$ часов.

Время выполнения работы второй бригадой составляет $x + 4 = 8 + 4 = 12$ часов.

Ответ: первая бригада может заасфальтировать участок за 8 часов, а вторая — за 12 часов.

468. Положив в банк некоторую сумму денег, вкладчик мог получить через год на 400 р. больше. Оставив эти деньги в банке ещё на год, он снял со своего счёта всю сумму, которая составила 5832 р. Какая сумма денег была положена в банк и сколько процентов годовых начислял банк?

Пусть S — первоначальная сумма денег, положенная в банк (в рублях), а p — годовая процентная ставка банка. Тогда коэффициент, на который увеличивается сумма вклада за год, равен $k = 1 + \frac{p}{100}$.

Согласно условию, через год сумма на счете увеличилась на 400 рублей. Это означает, что проценты, начисленные за первый год, составили 400 рублей. Математически это можно записать так:

$S \cdot \frac{p}{100} = 400$

Сумма на счете через год стала равна $S_1 = S + 400$ рублей.

Вкладчик оставил деньги еще на год. Проценты за второй год начислялись уже на новую сумму $S_1$. Через два года вкладчик снял со счета 5832 рубля. Это можно записать как:

$S_2 = S_1 \cdot (1 + \frac{p}{100}) = (S + 400) \cdot k = 5832$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными S и p (или k). Давайте для удобства использовать $r = \frac{p}{100}$ в качестве десятичной дроби для процентной ставки.

Система уравнений выглядит так:

$\begin{cases} S \cdot r = 400 & (1) \\ (S + 400)(1 + r) = 5832 & (2) \end{cases}$

Раскроем скобки во втором уравнении:

$S(1+r) + 400(1+r) = 5832$

$S + S \cdot r + 400 + 400 \cdot r = 5832$

Теперь подставим значение $S \cdot r = 400$ из первого уравнения в преобразованное второе уравнение:

$S + 400 + 400 + 400r = 5832$

$S + 800 + 400r = 5832$

$S + 400r = 5832 - 800$

$S + 400r = 5032$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений:

$\begin{cases} S \cdot r = 400 \\ S + 400r = 5032 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим S: $S = \frac{400}{r}$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{400}{r} + 400r = 5032$

Умножим обе части уравнения на r (так как $r \ne 0$), чтобы избавиться от дроби:

$400 + 400r^2 = 5032r$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$400r^2 - 5032r + 400 = 0$

Для упрощения разделим все коэффициенты на 8:

$50r^2 - 629r + 50 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-629)^2 - 4 \cdot 50 \cdot 50 = 395641 - 10000 = 385641$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{385641} = 621$.

Теперь найдем корни уравнения для r:

$r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{629 \pm 621}{2 \cdot 50} = \frac{629 \pm 621}{100}$

$r_1 = \frac{629 - 621}{100} = \frac{8}{100} = 0.08$

$r_2 = \frac{629 + 621}{100} = \frac{1250}{100} = 12.5$

Мы получили два возможных значения для процентной ставки: $r_1 = 0.08$, что соответствует 8% годовых, и $r_2 = 12.5$, что соответствует 1250% годовых. В контексте банковского вклада ставка 1250% является нереалистичной, поэтому мы выбираем первый, экономически правдоподобный вариант: $r = 0.08$.

Таким образом, процентная ставка банка составляет $p = r \cdot 100 = 0.08 \cdot 100 = 8\%$ годовых.

Теперь найдем первоначальную сумму вклада S, используя уравнение $S = \frac{400}{r}$:

$S = \frac{400}{0.08} = \frac{40000}{8} = 5000$ рублей.

Проверим найденные значения:

• Первоначальный вклад: $S = 5000$ р.
• Процентная ставка: 8% годовых.
• Проценты за первый год: $5000 \cdot 0.08 = 400$ р. (Верно)
• Сумма через год: $5000 + 400 = 5400$ р.
• Сумма через два года: $5400 \cdot (1 + 0.08) = 5400 \cdot 1.08 = 5832$ р. (Верно)

Все условия задачи выполняются.

Ответ: первоначальная сумма вклада составляла 5000 рублей, а банк начислял 8% годовых.