Номер 462, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

462. От вершины прямого угла по его сторонам начинают одновременно двигаться два тела. Через 15 с расстояние между ними стало равно 3 м. С какой скоростью двигалось каждое тело, если известно, что первое прошло за 6 с такое же расстояние, какое второе прошло за 8 с?

Пусть $v_1$ — скорость первого тела, а $v_2$ — скорость второго тела. Оба тела начинают движение из вершины прямого угла, и их траектории перпендикулярны друг другу.

За время $t$ первое тело пройдет расстояние $s_1 = v_1 \cdot t$, а второе тело — $s_2 = v_2 \cdot t$.Поскольку тела движутся по сторонам прямого угла, расстояние $d$ между ними в любой момент времени $t$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются пройденные телами пути $s_1$ и $s_2$.

Согласно теореме Пифагора:$d^2 = s_1^2 + s_2^2$Подставив выражения для $s_1$ и $s_2$, получим:$d^2 = (v_1 t)^2 + (v_2 t)^2 = t^2 (v_1^2 + v_2^2)$

По условию, через $t = 15$ с расстояние между телами стало равно $d = 3$ м. Подставим эти значения в нашу формулу:$3^2 = 15^2 (v_1^2 + v_2^2)$$9 = 225 (v_1^2 + v_2^2)$Отсюда можем выразить сумму квадратов скоростей:$v_1^2 + v_2^2 = \frac{9}{225} = \frac{1}{25}$Это наше первое уравнение.

Второе условие задачи гласит, что первое тело прошло за $t_1 = 6$ с такое же расстояние, какое второе прошло за $t_2 = 8$ с. Запишем это в виде уравнения:$v_1 \cdot t_1 = v_2 \cdot t_2$$6v_1 = 8v_2$Выразим $v_1$ через $v_2$:$v_1 = \frac{8}{6} v_2 = \frac{4}{3} v_2$Это наше второе уравнение.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_1^2 + v_2^2 = \frac{1}{25} \\ v_1 = \frac{4}{3} v_2 \end{cases}$

Подставим выражение для $v_1$ из второго уравнения в первое:$(\frac{4}{3} v_2)^2 + v_2^2 = \frac{1}{25}$$\frac{16}{9} v_2^2 + v_2^2 = \frac{1}{25}$$(\frac{16}{9} + 1) v_2^2 = \frac{1}{25}$$(\frac{16}{9} + \frac{9}{9}) v_2^2 = \frac{1}{25}$$\frac{25}{9} v_2^2 = \frac{1}{25}$

Найдем $v_2^2$:$v_2^2 = \frac{1}{25} \cdot \frac{9}{25} = \frac{9}{625}$

Поскольку скорость является положительной величиной, извлечем квадратный корень:$v_2 = \sqrt{\frac{9}{625}} = \frac{3}{25}$ м/с.

Теперь найдем скорость первого тела $v_1$, подставив значение $v_2$ во второе уравнение:$v_1 = \frac{4}{3} v_2 = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{25} = \frac{4}{25}$ м/с.

Для удобства можно представить скорости в виде десятичных дробей:$v_1 = \frac{4}{25} = 0,16$ м/с.$v_2 = \frac{3}{25} = 0,12$ м/с.

Ответ: скорость первого тела равна $0,16$ м/с, а скорость второго тела — $0,12$ м/с.