Номер 457, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

457. Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Согласно условию задачи, периметр равен 28 см. Составим первое уравнение:

$2(a + b) = 28$

Разделив обе части на 2, получим:

$a + b = 14$

Диагональ прямоугольника $d$, его длина $a$ и ширина $b$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, сумма квадратов сторон равна квадрату диагонали: $a^2 + b^2 = d^2$. По условию, диагональ равна 10 см. Составим второе уравнение:

$a^2 + b^2 = 10^2$

$a^2 + b^2 = 100$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a + b = 14 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases}$

Для решения системы выразим одну переменную через другую из первого уравнения: $b = 14 - a$.

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$a^2 + (14 - a)^2 = 100$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$a^2 + 14^2 - 2 \cdot 14 \cdot a + a^2 = 100$

$a^2 + 196 - 28a + a^2 = 100$

Приведем подобные слагаемые и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$:

$2a^2 - 28a + 196 - 100 = 0$

$2a^2 - 28a + 96 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$a^2 - 14a + 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 14, а их произведение равно 48. Легко подобрать корни: это числа 6 и 8.

$a_1 = 6$, $a_2 = 8$.

Теперь найдем соответствующие значения для второй стороны $b$:

Если $a = 6$ см, то $b = 14 - 6 = 8$ см.

Если $a = 8$ см, то $b = 14 - 8 = 6$ см.

В обоих случаях мы получаем, что стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

Ответ: 6 см и 8 см.