Номер 454, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

454. При каких значениях x:

а) трёхчлен $-x^2 - 2x + 168$ принимает положительные значения;

б) трёхчлен $15x^2 + x - 2$ принимает отрицательные значения;

в) дробь $\frac{x + 14}{3 - 2x}$ принимает отрицательные значения;

г) дробь $\frac{6 - 5x}{x + 25}$ принимает положительные значения?

а) Чтобы трёхчлен $-x^2 - 2x + 168$ принимал положительные значения, необходимо решить неравенство $-x^2 - 2x + 168 > 0$.
Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x^2 + 2x - 168 < 0$.
Для решения этого неравенства сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 168 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 4 + 672 = 676$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня: $\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$.
$x_1 = \frac{-2 - 26}{2} = \frac{-28}{2} = -14$.
$x_2 = \frac{-2 + 26}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
Графиком функции $y = x^2 + 2x - 168$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции будут отрицательными на интервале между корнями.
Следовательно, решение неравенства $x^2 + 2x - 168 < 0$ — это интервал $(-14; 12)$.
Ответ: $x \in (-14; 12)$.

б) Чтобы трёхчлен $15x^2 + x - 2$ принимал отрицательные значения, нужно решить неравенство $15x^2 + x - 2 < 0$.
Найдём корни уравнения $15x^2 + x - 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-2) = 1 + 120 = 121$.
$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.
$x_1 = \frac{-1 - 11}{2 \cdot 15} = \frac{-12}{30} = -\frac{2}{5}$.
$x_2 = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 15} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.
Графиком функции $y = 15x^2 + x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=15 > 0$). Значения функции отрицательны между корнями.
Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-\frac{2}{5}; \frac{1}{3})$.
Ответ: $x \in (-\frac{2}{5}; \frac{1}{3})$.

в) Чтобы дробь $\frac{x+14}{3-2x}$ принимала отрицательные значения, решим неравенство $\frac{x+14}{3-2x} < 0$.
Используем метод интервалов. Найдём точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.
Нуль числителя: $x + 14 = 0 \Rightarrow x = -14$.
Нуль знаменателя: $3 - 2x = 0 \Rightarrow x = 1.5$. (Эта точка будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю).
Нанесём точки $-14$ и $1.5$ на числовую ось и определим знаки дроби в полученных интервалах:
- Интервал $(-\infty; -14)$: возьмём $x = -15$. $\frac{-15+14}{3-2(-15)} = \frac{-1}{33} < 0$. Знак "−".
- Интервал $(-14; 1.5)$: возьмём $x = 0$. $\frac{0+14}{3-0} = \frac{14}{3} > 0$. Знак "+".
- Интервал $(1.5; +\infty)$: возьмём $x = 2$. $\frac{2+14}{3-2(2)} = \frac{16}{-1} < 0$. Знак "−".
Нам нужны интервалы со знаком "−".
Ответ: $x \in (-\infty; -14) \cup (1.5; +\infty)$.

г) Чтобы дробь $\frac{6-5x}{x+25}$ принимала положительные значения, решим неравенство $\frac{6-5x}{x+25} > 0$.
Решим методом интервалов. Найдём нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $6 - 5x = 0 \Rightarrow 5x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{5} = 1.2$.
Нуль знаменателя: $x + 25 = 0 \Rightarrow x = -25$. (Точка выколота).
Нанесём точки $-25$ и $1.2$ на числовую ось и определим знаки дроби в полученных интервалах:
- Интервал $(-\infty; -25)$: возьмём $x = -26$. $\frac{6-5(-26)}{-26+25} = \frac{136}{-1} < 0$. Знак "−".
- Интервал $(-25; 1.2)$: возьмём $x = 0$. $\frac{6-0}{0+25} = \frac{6}{25} > 0$. Знак "+".
- Интервал $(1.2; +\infty)$: возьмём $x = 2$. $\frac{6-5(2)}{2+25} = \frac{-4}{27} < 0$. Знак "−".
Нам нужен интервал со знаком "+".
Ответ: $x \in (-25; 1.2)$.