Номер 448, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

448. Решите систему уравнений, используя способ сложения:

а) $\begin{cases} x^2 - 2y^2 = 14, \\ x^2 + 2y^2 = 18; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 61, \\ x^2 - y^2 = 11; \end{cases}$

в) $\begin{cases} xy + x = 56, \\ xy + y = 54. \end{cases}$

а) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 2y^2 = 14 \\ x^2 + 2y^2 = 18 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$. Коэффициенты при $y^2$ являются противоположными числами ($-2$ и $2$), поэтому при сложении они взаимно уничтожатся.

$(x^2 - 2y^2) + (x^2 + 2y^2) = 14 + 18$

$2x^2 = 32$

$x^2 = 16$

Отсюда находим возможные значения для $x$: $x = \pm 4$.

Теперь подставим найденное значение $x^2 = 16$ во второе уравнение системы: $x^2 + 2y^2 = 18$.

$16 + 2y^2 = 18$

$2y^2 = 18 - 16$

$2y^2 = 2$

$y^2 = 1$

Отсюда находим возможные значения для $y$: $y = \pm 1$.

Таким образом, мы имеем четыре пары решений, комбинируя значения $x$ и $y$. Для каждого из двух значений $x$ ($4$ и $-4$) существуют два значения $y$ ($1$ и $-1$).

Решения системы: $(4, 1)$, $(4, -1)$, $(-4, 1)$ и $(-4, -1)$.

Ответ: $(4, 1), (4, -1), (-4, 1), (-4, -1)$.

б) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 61 \\ x^2 - y^2 = 11 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$.

$(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 61 + 11$

$2x^2 = 72$

$x^2 = 36$

Отсюда $x = \pm 6$.

Теперь подставим значение $x^2 = 36$ в первое уравнение системы: $x^2 + y^2 = 61$.

$36 + y^2 = 61$

$y^2 = 61 - 36$

$y^2 = 25$

Отсюда $y = \pm 5$.

Комбинируя полученные значения, находим четыре пары решений:

$(6, 5)$, $(6, -5)$, $(-6, 5)$ и $(-6, -5)$.

Ответ: $(6, 5), (6, -5), (-6, 5), (-6, -5)$.

в) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy + x = 56 \\ xy + y = 54 \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого. Этот прием является частью метода сложения (сложение с уравнением, умноженным на $-1$).

$(xy + x) - (xy + y) = 56 - 54$

$x - y = 2$

Выразим $x$ через $y$: $x = y + 2$.

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение исходной системы $xy + y = 54$.

$(y + 2)y + y = 54$

$y^2 + 2y + y = 54$

$y^2 + 3y - 54 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его по теореме Виета. Ищем два числа, произведение которых равно $-54$, а сумма равна $-3$. Эти числа — $6$ и $-9$.

Таким образом, корни уравнения: $y_1 = 6$ и $y_2 = -9$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = y + 2$.

1. Если $y_1 = 6$, то $x_1 = 6 + 2 = 8$. Получаем решение $(8, 6)$.

2. Если $y_2 = -9$, то $x_2 = -9 + 2 = -7$. Получаем решение $(-7, -9)$.

Ответ: $(8, 6), (-7, -9)$.