Номер 450, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. 19. Решение систем уравнений второй степени - номер 450, страница 121.

Условие.

450. При каких значениях $k$ парабола $y = x^2 + 1$ и прямая $y=kx$ имеют только одну общую точку?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы найти общие точки параболы $y = x^2 + 1$ и прямой $y = kx$, необходимо найти решения системы уравнений, состоящей из уравнений этих двух графиков. Общая точка — это точка, координаты которой $(x, y)$ удовлетворяют обоим уравнениям.

Приравняем правые части уравнений, так как в обеих левая часть равна $y$:

$x^2 + 1 = kx$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно переменной $x$:

$x^2 - kx + 1 = 0$

Парабола и прямая будут иметь только одну общую точку в том и только в том случае, если это квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень. Квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет один корень, когда его дискриминант ($D$) равен нулю.

Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения $x^2 - kx + 1 = 0$ коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -k$, $c = 1$.

Найдем дискриминант:

$D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = k^2 - 4$

Теперь приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно $k$:

$k^2 - 4 = 0$

$k^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для $k$:

$k_1 = \sqrt{4} = 2$

$k_2 = -\sqrt{4} = -2$

Таким образом, при значениях $k = 2$ и $k = -2$ прямая и парабола имеют ровно одну общую точку.

Ответ: $k = -2; 2$.