Номер 446, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

446. Докажите, что парабола $y = 2x^2 - 5x + 1$ и прямая $2x + y + 3 = 0$ не пересекаются.

Для того чтобы доказать, что парабола и прямая не пересекаются, необходимо показать, что система уравнений, составленная из их уравнений, не имеет действительных решений. Точки пересечения — это общие точки, координаты которых удовлетворяют обоим уравнениям.

Дана система уравнений:
$y = 2x^2 - 5x + 1$ (уравнение параболы)
$2x + y + 3 = 0$ (уравнение прямой)

Для решения системы выразим переменную y из уравнения прямой:
$y = -2x - 3$

Теперь подставим это выражение для y в уравнение параболы:
$-2x - 3 = 2x^2 - 5x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$2x^2 - 5x + 1 + 2x + 3 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + (-5x + 2x) + (1 + 3) = 0$
$2x^2 - 3x + 4 = 0$

Наличие или отсутствие точек пересечения зависит от количества действительных корней этого квадратного уравнения. Количество корней определяется знаком дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

В нашем уравнении коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -3$, $c = 4$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23$

Поскольку дискриминант $D = -23$ является отрицательным числом ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует такого значения x, при котором y-координаты параболы и прямой совпали бы. Следовательно, у графиков нет общих точек.

Ответ: Парабола $y=2x^2-5x+1$ и прямая $2x+y+3=0$ не пересекаются, так как соответствующее квадратное уравнение не имеет действительных корней (его дискриминант отрицателен), что и требовалось доказать.