Номер 440, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

440. Решите систему уравнений графически и аналитически:

а) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ x - y = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^2 + 1, \\ x + 2y = 5. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ x - y = 4 \end{cases} $$

Графическое решение:

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 16$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.

Второе уравнение $x - y = 4$ — это уравнение прямой. Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение в виде $y = kx + b$:

$y = x - 4$

Это прямая с угловым коэффициентом $k=1$ и пересечением с осью OY в точке (0, -4). Для построения прямой найдем две точки:
- если $x = 0$, то $y = -4$. Точка (0, -4).
- если $y = 0$, то $x = 4$. Точка (4, 0).

Построим на одной координатной плоскости окружность и прямую. Точки их пересечения и будут решениями системы. Графики пересекаются в двух точках, координаты которых (4, 0) и (0, -4).

Аналитическое решение:

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения системы выразим $x$:

$x = y + 4$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(y + 4)^2 + y^2 = 16$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$y^2 + 8y + 16 + y^2 = 16$
$2y^2 + 8y = 0$

Вынесем общий множитель $2y$ за скобки:

$2y(y + 4) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:
1) $2y = 0 \implies y_1 = 0$
2) $y + 4 = 0 \implies y_2 = -4$

Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя выражение $x = y + 4$:
1) Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 0 + 4 = 4$. Первое решение: (4, 0).
2) Если $y_2 = -4$, то $x_2 = -4 + 4 = 0$. Второе решение: (0, -4).

Ответ: (4, 0), (0, -4).

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} y = x^2 + 1 \\ x + 2y = 5 \end{cases} $$

Графическое решение:

Первое уравнение $y = x^2 + 1$ — это уравнение параболы. Ветви параболы направлены вверх, а ее вершина находится в точке (0, 1).

Второе уравнение $x + 2y = 5$ — это уравнение прямой. Выразим $y$ через $x$:

$2y = 5 - x$
$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$
$y = -0.5x + 2.5$

Это прямая. Для ее построения найдем две точки:
- если $x = 1$, то $y = -0.5(1) + 2.5 = 2$. Точка (1, 2).
- если $x = 3$, то $y = -0.5(3) + 2.5 = -1.5 + 2.5 = 1$. Точка (3, 1).

Построим графики параболы и прямой на одной координатной плоскости. Координаты точек пересечения являются решениями системы. Из построения видно, что графики пересекаются в двух точках: (1, 2) и $(-\frac{3}{2}, \frac{13}{4})$ или (-1.5, 3.25).

Аналитическое решение:

Используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения ($y = x^2 + 1$) во второе уравнение:

$x + 2(x^2 + 1) = 5$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x + 2x^2 + 2 = 5$
$2x^2 + x - 3 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$

Корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 5}{4}$
$x_1 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$x_2 = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = x^2 + 1$:
1) Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1^2 + 1 = 2$. Первое решение: (1, 2).
2) Если $x_2 = -\frac{3}{2}$, то $y_2 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 1 = \frac{9}{4} + 1 = \frac{9}{4} + \frac{4}{4} = \frac{13}{4}$. Второе решение: $(-\frac{3}{2}, \frac{13}{4})$.

Ответ: $(1, 2)$, $(-\frac{3}{2}, \frac{13}{4})$.