Номер 439, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

439. Решите систему уравнений

$\begin{cases} y = 0,5x^2 - 2, \\ y - x = 2 \end{cases}$

сначала графическим способом, а затем аналитическим.

Графический способ

Решением системы уравнений являются точки пересечения графиков этих уравнений. Построим графики функций в одной системе координат.

1. График уравнения $y = 0,5x^2 - 2$ — это парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $0,5 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 0,5} = 0$

$y_0 = 0,5 \cdot 0^2 - 2 = -2$

Вершина находится в точке $(0, -2)$.

Найдем еще несколько точек, принадлежащих параболе, для более точного построения:

• при $x = 2$, $y = 0,5 \cdot 2^2 - 2 = 0,5 \cdot 4 - 2 = 0$. Точка $(2, 0)$.
• при $x = -2$, $y = 0,5 \cdot (-2)^2 - 2 = 0,5 \cdot 4 - 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.
• при $x = 4$, $y = 0,5 \cdot 4^2 - 2 = 0,5 \cdot 16 - 2 = 8-2=6$. Точка $(4, 6)$.
• при $x = -4$, $y = 0,5 \cdot (-4)^2 - 2 = 0,5 \cdot 16 - 2 = 8-2=6$. Точка $(-4, 6)$.

2. График уравнения $y - x = 2$, или $y = x + 2$, — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек:

• при $x = 0$, $y = 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• при $x = -2$, $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.

3. Построив параболу и прямую в одной системе координат, мы находим их точки пересечения. Координаты этих точек и являются решением системы. Из графика видно, что точки пересечения имеют координаты $(-2, 0)$ и $(4, 6)$.

Ответ: $(-2, 0)$, $(4, 6)$.

Аналитический способ

Решим данную систему уравнений методом подстановки:

$\begin{cases} y = 0,5x^2 - 2 \\ y - x = 2 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = x + 2$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$x + 2 = 0,5x^2 - 2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0,5x^2 - x - 2 - 2 = 0$

$0,5x^2 - x - 4 = 0$

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Мы нашли значения $x$. Теперь для каждого из них найдем соответствующее значение $y$, подставив $x$ в уравнение $y = x + 2$.

Если $x_1 = -2$, то $y_1 = -2 + 2 = 0$.

Если $x_2 = 4$, то $y_2 = 4 + 2 = 6$.

Таким образом, мы получили две пары чисел, которые являются решениями системы: $(-2, 0)$ и $(4, 6)$.

Ответ: $(-2, 0)$, $(4, 6)$.