Номер 442, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

442. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1, \\ x + 2y = 0; \end{cases}$ б) $\begin{cases} u + 2v = 4, \\ u^2 + uv - v = -5. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1, \\ x + 2y = 0. \end{cases} $$

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Из второго, более простого, уравнения выразим переменную $x$ через $y$:
$x = -2y$.

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы: $(-2y)^2 + y^2 + 3(-2y)y = -1$.

Упростим это уравнение, выполнив все алгебраические преобразования:
$4y^2 + y^2 - 6y^2 = -1$
$5y^2 - 6y^2 = -1$
$-y^2 = -1$
$y^2 = 1$.

Из последнего уравнения находим два возможных значения для $y$:
$y_1 = 1$
$y_2 = -1$.

Для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя подстановку $x = -2y$.

1. При $y_1 = 1$:
$x_1 = -2 \cdot 1 = -2$.
Таким образом, первая пара решений: $(-2, 1)$.

2. При $y_2 = -1$:
$x_2 = -2 \cdot (-1) = 2$.
Таким образом, вторая пара решений: $(2, -1)$.

Выполним проверку, подставив найденные пары в исходную систему уравнений.
Для пары $(-2, 1)$:
$(-2)^2 + 1^2 + 3(-2)(1) = 4 + 1 - 6 = -1$. (Верно)
$-2 + 2(1) = 0$. (Верно)
Для пары $(2, -1)$:
$2^2 + (-1)^2 + 3(2)(-1) = 4 + 1 - 6 = -1$. (Верно)
$2 + 2(-1) = 0$. (Верно)
Обе пары являются решениями системы.

Ответ: $(-2, 1)$, $(2, -1)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} u + 2v = 4, \\ u^2 + uv - v = -5. \end{cases} $$

Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $u$ через $v$:
$u = 4 - 2v$.

Подставим это выражение для $u$ во второе уравнение системы: $(4 - 2v)^2 + (4 - 2v)v - v = -5$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $v$:
$(16 - 16v + 4v^2) + (4v - 2v^2) - v = -5$
$16 - 16v + 4v^2 + 4v - 2v^2 - v + 5 = 0$
$2v^2 - 13v + 21 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 21 = 169 - 168 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:
$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 1}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$
$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 1}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $u$ для каждого найденного значения $v$, используя формулу $u = 4 - 2v$.

1. При $v_1 = \frac{7}{2}$:
$u_1 = 4 - 2 \cdot \frac{7}{2} = 4 - 7 = -3$.
Первая пара решений: $(-3, \frac{7}{2})$.

2. При $v_2 = 3$:
$u_2 = 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2$.
Вторая пара решений: $(-2, 3)$.

Выполним проверку, подставив найденные пары в исходную систему уравнений.
Для пары $(-3, \frac{7}{2})$:
$-3 + 2(\frac{7}{2}) = -3 + 7 = 4$. (Верно)
$(-3)^2 + (-3)(\frac{7}{2}) - \frac{7}{2} = 9 - \frac{21}{2} - \frac{7}{2} = 9 - \frac{28}{2} = 9 - 14 = -5$. (Верно)
Для пары $(-2, 3)$:
$-2 + 2(3) = -2 + 6 = 4$. (Верно)
$(-2)^2 + (-2)(3) - 3 = 4 - 6 - 3 = -5$. (Верно)
Обе пары являются решениями системы.

Ответ: $(-3, \frac{7}{2})$, $(-2, 3)$.