Номер 438, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

438. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} x^2 - 4 = 0, \\ xy = 6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - 5x + 6 = 0, \\ y^2 - 6y + 5 = 0. \end{cases}$

а) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 4 = 0 \\ xy = 6 \end{cases} $
Сначала решим первое уравнение относительно переменной $x$:
$ x^2 - 4 = 0 $
$ x^2 = 4 $
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$ из второго уравнения $xy=6$.
1. Подставим $x_1 = 2$ во второе уравнение:
$ 2 \cdot y = 6 $
$ y_1 = \frac{6}{2} = 3 $
Таким образом, первая пара решений — $(2, 3)$.
2. Подставим $x_2 = -2$ во второе уравнение:
$ -2 \cdot y = 6 $
$ y_2 = \frac{6}{-2} = -3 $
Таким образом, вторая пара решений — $(-2, -3)$.
Ответ: $(2, 3), (-2, -3)$.

б) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 = 0 \\ y^2 - 6y + 5 = 0 \end{cases} $
Эта система состоит из двух независимых уравнений: первое зависит только от $x$, а второе — только от $y$. Мы можем решить каждое уравнение отдельно.
1. Решим первое квадратное уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни:
$x_1 = 2$, $x_2 = 3$.
2. Решим второе квадратное уравнение $y^2 - 6y + 5 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Корни уравнения:
$y_1 = 1$, $y_2 = 5$.
Решением системы являются все возможные комбинации найденных значений $x$ и $y$. Каждое значение $x$ может сочетаться с каждым значением $y$.
Составим пары решений $(x, y)$:
- Для $x=2$ получаем два решения: $(2, 1)$ и $(2, 5)$.
- Для $x=3$ получаем еще два решения: $(3, 1)$ и $(3, 5)$.
Ответ: $(2, 1), (2, 5), (3, 1), (3, 5)$.