Страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

435. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} 2x + 4y = 5(x - y), \\ x^2 - y^2 = 6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} u - v = 6(u + v), \\ u^2 - v^2 = 6. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}2x + 4y = 5(x - y) \\x^2 - y^2 = 6\end{cases}$$

Сначала упростим первое уравнение, раскрыв скобки и сгруппировав переменные:

$2x + 4y = 5x - 5y$

$4y + 5y = 5x - 2x$

$9y = 3x$

Отсюда выразим $x$ через $y$:

$x = 3y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$x^2 - y^2 = 6$

$(3y)^2 - y^2 = 6$

$9y^2 - y^2 = 6$

$8y^2 = 6$

$y^2 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $y$:

$y_1 = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $y_2 = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя формулу $x = 3y$.

1. При $y_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем $x_1 = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. Первое решение: $(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

2. При $y_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем $x_2 = 3 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$. Второе решение: $(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: $(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}), (-\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

б)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}u - v = 6(u + v) \\u^2 - v^2 = 6\end{cases}$$

Второе уравнение представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители: $u^2 - v^2 = (u - v)(u + v)$.

Таким образом, второе уравнение можно переписать как:

$(u - v)(u + v) = 6$

Теперь подставим выражение для $(u - v)$ из первого уравнения, $u - v = 6(u + v)$, в преобразованное второе уравнение:

$[6(u + v)](u + v) = 6$

$6(u + v)^2 = 6$

Разделим обе части на 6:

$(u + v)^2 = 1$

Это уравнение дает два возможных случая.

Случай 1: $u + v = 1$.

Подставим это значение в первое уравнение исходной системы $u - v = 6(u + v)$:

$u - v = 6(1) \implies u - v = 6$.

Теперь решаем систему линейных уравнений:

$$\begin{cases}u + v = 1 \\u - v = 6\end{cases}$$

Складывая уравнения, получаем: $2u = 7$, откуда $u = \frac{7}{2}$.

Подставляя $u$ в первое уравнение, находим $v$: $\frac{7}{2} + v = 1 \implies v = 1 - \frac{7}{2} = -\frac{5}{2}$.

Первое решение: $(\frac{7}{2}, -\frac{5}{2})$.

Случай 2: $u + v = -1$.

Аналогично подставляем это значение в первое уравнение исходной системы:

$u - v = 6(-1) \implies u - v = -6$.

Решаем новую систему линейных уравнений:

$$\begin{cases}u + v = -1 \\u - v = -6\end{cases}$$

Складывая уравнения, получаем: $2u = -7$, откуда $u = -\frac{7}{2}$.

Подставляя $u$ в первое уравнение, находим $v$: $-\frac{7}{2} + v = -1 \implies v = -1 + \frac{7}{2} = \frac{5}{2}$.

Второе решение: $(-\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$.

Ответ: $(\frac{7}{2}, -\frac{5}{2}), (-\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$.

436. Решите систему уравнений:

a) $$ \begin{cases} 6(y - x) - 50 = y, \\ y - xy = 24; \end{cases} $$

б) $$ \begin{cases} p + 5t = 2(p + t), \\ pt - t = 10. \end{cases} $$

а)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 6(y - x) - 50 = y, \\ y - xy = 24; \end{cases} $
Сначала упростим первое уравнение:
$6y - 6x - 50 = y$
$6y - y - 6x = 50$
$5y - 6x = 50$
Теперь преобразуем второе уравнение, вынеся $y$ за скобки:
$y(1 - x) = 24$
Из этого уравнения выразим $y$ через $x$ (при условии, что $x \neq 1$):
$y = \frac{24}{1 - x}$
Теперь подставим это выражение для $y$ в преобразованное первое уравнение $5y - 6x = 50$:
$5 \left( \frac{24}{1 - x} \right) - 6x = 50$
$\frac{120}{1 - x} - 6x = 50$
Умножим обе части уравнения на $(1 - x)$, чтобы избавиться от знаменателя:
$120 - 6x(1 - x) = 50(1 - x)$
$120 - 6x + 6x^2 = 50 - 50x$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:
$6x^2 - 6x + 50x + 120 - 50 = 0$
$6x^2 + 44x + 70 = 0$
Для упрощения разделим все уравнение на 2:
$3x^2 + 22x + 35 = 0$
Мы получили квадратное уравнение. Решим его, найдя дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 22^2 - 4 \cdot 3 \cdot 35 = 484 - 420 = 64$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-22 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-22 + 8}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-22 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-22 - 8}{6} = \frac{-30}{6} = -5$
Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$, используя формулу $y = \frac{24}{1 - x}$:
При $x_1 = -\frac{7}{3}$:
$y_1 = \frac{24}{1 - (-\frac{7}{3})} = \frac{24}{1 + \frac{7}{3}} = \frac{24}{\frac{3+7}{3}} = \frac{24}{\frac{10}{3}} = \frac{24 \cdot 3}{10} = \frac{72}{10} = \frac{36}{5}$
При $x_2 = -5$:
$y_2 = \frac{24}{1 - (-5)} = \frac{24}{1 + 5} = \frac{24}{6} = 4$
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-\frac{7}{3}, \frac{36}{5})$; $(-5, 4)$.

б)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} p + 5t = 2(p + t), \\ pt - t = 10. \end{cases} $
Упростим первое уравнение, раскрыв скобки:
$p + 5t = 2p + 2t$
Перенесем члены с $p$ в одну сторону, а с $t$ в другую:
$5t - 2t = 2p - p$
$3t = p$
Теперь у нас есть простое выражение для $p$. Подставим его во второе уравнение системы:
$(3t)t - t = 10$
$3t^2 - t = 10$
Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$3t^2 - t - 10 = 0$
Решим это уравнение относительно $t$, найдя дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 1 + 120 = 121$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 11}{6} = \frac{12}{6} = 2$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 11}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$
Теперь для каждого найденного значения $t$ найдем соответствующее значение $p$, используя соотношение $p = 3t$:
При $t_1 = 2$:
$p_1 = 3 \cdot 2 = 6$
При $t_2 = -\frac{5}{3}$:
$p_2 = 3 \cdot (-\frac{5}{3}) = -5$
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(6, 2)$; $(-5, -\frac{5}{3})$.

437. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} (x - 2)(y + 3) = 160, \\ y - x = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x - 1)(y + 10) = 9, \\ x - y = 11. \end{cases}$

а) Дана система уравнений:$\begin{cases}(x - 2)(y + 3) = 160, \\y - x = 1.\end{cases}$

Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = x + 1$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$(x - 2)((x + 1) + 3) = 160$

Упростим выражение в скобках:

$(x - 2)(x + 4) = 160$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 2x - 8 = 160$

$x^2 + 2x - 8 - 160 = 0$

$x^2 + 2x - 168 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 4 + 672 = 676$

$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-2 + 26}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-2 - 26}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя уравнение $y = x + 1$:

Если $x_1 = 12$, то $y_1 = 12 + 1 = 13$.

Если $x_2 = -14$, то $y_2 = -14 + 1 = -13$.

Таким образом, система имеет две пары решений.

Ответ: $(12; 13)$, $(-14; -13)$.

б) Дана система уравнений:$\begin{cases}(x - 1)(y + 10) = 9, \\x - y = 11.\end{cases}$

Из второго уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = y + 11$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$((y + 11) - 1)(y + 10) = 9$

Упростим выражение в первой скобке:

$(y + 10)(y + 10) = 9$

$(y + 10)^2 = 9$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$y + 10 = \pm\sqrt{9}$

$y + 10 = \pm 3$

Получаем два возможных значения для $y$:

1) $y_1 + 10 = 3 \implies y_1 = 3 - 10 = -7$

2) $y_2 + 10 = -3 \implies y_2 = -3 - 10 = -13$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя уравнение $x = y + 11$:

Если $y_1 = -7$, то $x_1 = -7 + 11 = 4$.

Если $y_2 = -13$, то $x_2 = -13 + 11 = -2$.

Таким образом, система имеет две пары решений.

Ответ: $(4; -7)$, $(-2; -13)$.

438. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} x^2 - 4 = 0, \\ xy = 6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - 5x + 6 = 0, \\ y^2 - 6y + 5 = 0. \end{cases}$

а) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 4 = 0 \\ xy = 6 \end{cases} $
Сначала решим первое уравнение относительно переменной $x$:
$ x^2 - 4 = 0 $
$ x^2 = 4 $
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$ из второго уравнения $xy=6$.
1. Подставим $x_1 = 2$ во второе уравнение:
$ 2 \cdot y = 6 $
$ y_1 = \frac{6}{2} = 3 $
Таким образом, первая пара решений — $(2, 3)$.
2. Подставим $x_2 = -2$ во второе уравнение:
$ -2 \cdot y = 6 $
$ y_2 = \frac{6}{-2} = -3 $
Таким образом, вторая пара решений — $(-2, -3)$.
Ответ: $(2, 3), (-2, -3)$.

б) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 = 0 \\ y^2 - 6y + 5 = 0 \end{cases} $
Эта система состоит из двух независимых уравнений: первое зависит только от $x$, а второе — только от $y$. Мы можем решить каждое уравнение отдельно.
1. Решим первое квадратное уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни:
$x_1 = 2$, $x_2 = 3$.
2. Решим второе квадратное уравнение $y^2 - 6y + 5 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Корни уравнения:
$y_1 = 1$, $y_2 = 5$.
Решением системы являются все возможные комбинации найденных значений $x$ и $y$. Каждое значение $x$ может сочетаться с каждым значением $y$.
Составим пары решений $(x, y)$:
- Для $x=2$ получаем два решения: $(2, 1)$ и $(2, 5)$.
- Для $x=3$ получаем еще два решения: $(3, 1)$ и $(3, 5)$.
Ответ: $(2, 1), (2, 5), (3, 1), (3, 5)$.

439. Решите систему уравнений

$\begin{cases} y = 0,5x^2 - 2, \\ y - x = 2 \end{cases}$

сначала графическим способом, а затем аналитическим.

Графический способ

Решением системы уравнений являются точки пересечения графиков этих уравнений. Построим графики функций в одной системе координат.

1. График уравнения $y = 0,5x^2 - 2$ — это парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $0,5 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 0,5} = 0$

$y_0 = 0,5 \cdot 0^2 - 2 = -2$

Вершина находится в точке $(0, -2)$.

Найдем еще несколько точек, принадлежащих параболе, для более точного построения:

• при $x = 2$, $y = 0,5 \cdot 2^2 - 2 = 0,5 \cdot 4 - 2 = 0$. Точка $(2, 0)$.
• при $x = -2$, $y = 0,5 \cdot (-2)^2 - 2 = 0,5 \cdot 4 - 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.
• при $x = 4$, $y = 0,5 \cdot 4^2 - 2 = 0,5 \cdot 16 - 2 = 8-2=6$. Точка $(4, 6)$.
• при $x = -4$, $y = 0,5 \cdot (-4)^2 - 2 = 0,5 \cdot 16 - 2 = 8-2=6$. Точка $(-4, 6)$.

2. График уравнения $y - x = 2$, или $y = x + 2$, — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек:

• при $x = 0$, $y = 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• при $x = -2$, $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.

3. Построив параболу и прямую в одной системе координат, мы находим их точки пересечения. Координаты этих точек и являются решением системы. Из графика видно, что точки пересечения имеют координаты $(-2, 0)$ и $(4, 6)$.

Ответ: $(-2, 0)$, $(4, 6)$.

Аналитический способ

Решим данную систему уравнений методом подстановки:

$\begin{cases} y = 0,5x^2 - 2 \\ y - x = 2 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = x + 2$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$x + 2 = 0,5x^2 - 2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0,5x^2 - x - 2 - 2 = 0$

$0,5x^2 - x - 4 = 0$

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Мы нашли значения $x$. Теперь для каждого из них найдем соответствующее значение $y$, подставив $x$ в уравнение $y = x + 2$.

Если $x_1 = -2$, то $y_1 = -2 + 2 = 0$.

Если $x_2 = 4$, то $y_2 = 4 + 2 = 6$.

Таким образом, мы получили две пары чисел, которые являются решениями системы: $(-2, 0)$ и $(4, 6)$.

Ответ: $(-2, 0)$, $(4, 6)$.

440. Решите систему уравнений графически и аналитически:

а) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ x - y = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^2 + 1, \\ x + 2y = 5. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ x - y = 4 \end{cases} $$

Графическое решение:

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 16$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.

Второе уравнение $x - y = 4$ — это уравнение прямой. Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение в виде $y = kx + b$:

$y = x - 4$

Это прямая с угловым коэффициентом $k=1$ и пересечением с осью OY в точке (0, -4). Для построения прямой найдем две точки:
- если $x = 0$, то $y = -4$. Точка (0, -4).
- если $y = 0$, то $x = 4$. Точка (4, 0).

Построим на одной координатной плоскости окружность и прямую. Точки их пересечения и будут решениями системы. Графики пересекаются в двух точках, координаты которых (4, 0) и (0, -4).

Аналитическое решение:

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения системы выразим $x$:

$x = y + 4$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(y + 4)^2 + y^2 = 16$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$y^2 + 8y + 16 + y^2 = 16$
$2y^2 + 8y = 0$

Вынесем общий множитель $2y$ за скобки:

$2y(y + 4) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:
1) $2y = 0 \implies y_1 = 0$
2) $y + 4 = 0 \implies y_2 = -4$

Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя выражение $x = y + 4$:
1) Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 0 + 4 = 4$. Первое решение: (4, 0).
2) Если $y_2 = -4$, то $x_2 = -4 + 4 = 0$. Второе решение: (0, -4).

Ответ: (4, 0), (0, -4).

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} y = x^2 + 1 \\ x + 2y = 5 \end{cases} $$

Графическое решение:

Первое уравнение $y = x^2 + 1$ — это уравнение параболы. Ветви параболы направлены вверх, а ее вершина находится в точке (0, 1).

Второе уравнение $x + 2y = 5$ — это уравнение прямой. Выразим $y$ через $x$:

$2y = 5 - x$
$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$
$y = -0.5x + 2.5$

Это прямая. Для ее построения найдем две точки:
- если $x = 1$, то $y = -0.5(1) + 2.5 = 2$. Точка (1, 2).
- если $x = 3$, то $y = -0.5(3) + 2.5 = -1.5 + 2.5 = 1$. Точка (3, 1).

Построим графики параболы и прямой на одной координатной плоскости. Координаты точек пересечения являются решениями системы. Из построения видно, что графики пересекаются в двух точках: (1, 2) и $(-\frac{3}{2}, \frac{13}{4})$ или (-1.5, 3.25).

Аналитическое решение:

Используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения ($y = x^2 + 1$) во второе уравнение:

$x + 2(x^2 + 1) = 5$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x + 2x^2 + 2 = 5$
$2x^2 + x - 3 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$

Корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 5}{4}$
$x_1 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$x_2 = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = x^2 + 1$:
1) Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1^2 + 1 = 2$. Первое решение: (1, 2).
2) Если $x_2 = -\frac{3}{2}$, то $y_2 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 1 = \frac{9}{4} + 1 = \frac{9}{4} + \frac{4}{4} = \frac{13}{4}$. Второе решение: $(-\frac{3}{2}, \frac{13}{4})$.

Ответ: $(1, 2)$, $(-\frac{3}{2}, \frac{13}{4})$.

441. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} x^2 + xy - y^2 = 11, \\ x - 2y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + xy - 3y = 9, \\ 3x + 2y = -1. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + xy - y^2 = 11, \\ x - 2y = 1. \end{cases}$

Для решения системы уравнений воспользуемся методом подстановки. Из второго, линейного, уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 1 + 2y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое, нелинейное, уравнение системы:

$(1 + 2y)^2 + (1 + 2y)y - y^2 = 11$

Раскроем скобки и выполним преобразования:

$(1 + 4y + 4y^2) + (y + 2y^2) - y^2 = 11$

Приведем подобные слагаемые:

$(4y^2 + 2y^2 - y^2) + (4y + y) + 1 = 11$

$5y^2 + 5y + 1 = 11$

Перенесем 11 в левую часть уравнения:

$5y^2 + 5y - 10 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$y^2 + y - 2 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Легко подобрать корни:

$y_1 = 1$

$y_2 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя формулу $x = 1 + 2y$.

1. При $y_1 = 1$:

$x_1 = 1 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3$

Таким образом, первое решение системы — это пара чисел $(3, 1)$.

2. При $y_2 = -2$:

$x_2 = 1 + 2 \cdot (-2) = 1 - 4 = -3$

Второе решение системы — это пара чисел $(-3, -2)$.

Выполним проверку для обоих решений.

Для $(3, 1)$:

$3^2 + 3 \cdot 1 - 1^2 = 9 + 3 - 1 = 11$ (верно)

$3 - 2 \cdot 1 = 1$ (верно)

Для $(-3, -2)$:

$(-3)^2 + (-3)(-2) - (-2)^2 = 9 + 6 - 4 = 11$ (верно)

$(-3) - 2(-2) = -3 + 4 = 1$ (верно)

Оба решения верны.

Ответ: $(3, 1)$, $(-3, -2)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + xy - 3y = 9, \\ 3x + 2y = -1. \end{cases}$

Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$2y = -1 - 3x$

$y = \frac{-1 - 3x}{2}$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$x^2 + x \left(\frac{-1 - 3x}{2}\right) - 3 \left(\frac{-1 - 3x}{2}\right) = 9$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$2x^2 + x(-1 - 3x) - 3(-1 - 3x) = 18$

Раскроем скобки:

$2x^2 - x - 3x^2 + 3 + 9x = 18$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - 3x^2) + (-x + 9x) + 3 = 18$

$-x^2 + 8x + 3 = 18$

Перенесем все члены в левую часть:

$-x^2 + 8x - 15 = 0$

Умножим уравнение на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$x^2 - 8x + 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $8$, а произведение равно $15$. Корни:

$x_1 = 3$

$x_2 = 5$

Теперь для каждого значения $x$ найдем соответствующее значение $y$ по формуле $y = \frac{-1 - 3x}{2}$.

1. При $x_1 = 3$:

$y_1 = \frac{-1 - 3 \cdot 3}{2} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Первое решение: $(3, -5)$.

2. При $x_2 = 5$:

$y_2 = \frac{-1 - 3 \cdot 5}{2} = \frac{-1 - 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Второе решение: $(5, -8)$.

Проверим найденные решения.

Для $(3, -5)$:

$3^2 + 3(-5) - 3(-5) = 9 - 15 + 15 = 9$ (верно)

$3(3) + 2(-5) = 9 - 10 = -1$ (верно)

Для $(5, -8)$:

$5^2 + 5(-8) - 3(-8) = 25 - 40 + 24 = 9$ (верно)

$3(5) + 2(-8) = 15 - 16 = -1$ (верно)

Оба решения верны.

Ответ: $(3, -5)$, $(5, -8)$.

442. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1, \\ x + 2y = 0; \end{cases}$ б) $\begin{cases} u + 2v = 4, \\ u^2 + uv - v = -5. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1, \\ x + 2y = 0. \end{cases} $$

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Из второго, более простого, уравнения выразим переменную $x$ через $y$:
$x = -2y$.

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы: $(-2y)^2 + y^2 + 3(-2y)y = -1$.

Упростим это уравнение, выполнив все алгебраические преобразования:
$4y^2 + y^2 - 6y^2 = -1$
$5y^2 - 6y^2 = -1$
$-y^2 = -1$
$y^2 = 1$.

Из последнего уравнения находим два возможных значения для $y$:
$y_1 = 1$
$y_2 = -1$.

Для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя подстановку $x = -2y$.

1. При $y_1 = 1$:
$x_1 = -2 \cdot 1 = -2$.
Таким образом, первая пара решений: $(-2, 1)$.

2. При $y_2 = -1$:
$x_2 = -2 \cdot (-1) = 2$.
Таким образом, вторая пара решений: $(2, -1)$.

Выполним проверку, подставив найденные пары в исходную систему уравнений.
Для пары $(-2, 1)$:
$(-2)^2 + 1^2 + 3(-2)(1) = 4 + 1 - 6 = -1$. (Верно)
$-2 + 2(1) = 0$. (Верно)
Для пары $(2, -1)$:
$2^2 + (-1)^2 + 3(2)(-1) = 4 + 1 - 6 = -1$. (Верно)
$2 + 2(-1) = 0$. (Верно)
Обе пары являются решениями системы.

Ответ: $(-2, 1)$, $(2, -1)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} u + 2v = 4, \\ u^2 + uv - v = -5. \end{cases} $$

Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $u$ через $v$:
$u = 4 - 2v$.

Подставим это выражение для $u$ во второе уравнение системы: $(4 - 2v)^2 + (4 - 2v)v - v = -5$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $v$:
$(16 - 16v + 4v^2) + (4v - 2v^2) - v = -5$
$16 - 16v + 4v^2 + 4v - 2v^2 - v + 5 = 0$
$2v^2 - 13v + 21 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 21 = 169 - 168 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:
$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 1}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$
$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 1}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $u$ для каждого найденного значения $v$, используя формулу $u = 4 - 2v$.

1. При $v_1 = \frac{7}{2}$:
$u_1 = 4 - 2 \cdot \frac{7}{2} = 4 - 7 = -3$.
Первая пара решений: $(-3, \frac{7}{2})$.

2. При $v_2 = 3$:
$u_2 = 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2$.
Вторая пара решений: $(-2, 3)$.

Выполним проверку, подставив найденные пары в исходную систему уравнений.
Для пары $(-3, \frac{7}{2})$:
$-3 + 2(\frac{7}{2}) = -3 + 7 = 4$. (Верно)
$(-3)^2 + (-3)(\frac{7}{2}) - \frac{7}{2} = 9 - \frac{21}{2} - \frac{7}{2} = 9 - \frac{28}{2} = 9 - 14 = -5$. (Верно)
Для пары $(-2, 3)$:
$-2 + 2(3) = -2 + 6 = 4$. (Верно)
$(-2)^2 + (-2)(3) - 3 = 4 - 6 - 3 = -5$. (Верно)
Обе пары являются решениями системы.

Ответ: $(-3, \frac{7}{2})$, $(-2, 3)$.

443. Решите систему уравнений:

a) $ \begin{cases} x - y = 5, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x + y = 6, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{4}; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 3x + y = 1, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -2,5; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{3}, \\ x - 2y = 2. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 5 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \end{cases} $
Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.
Из первого уравнения выразим $x$ через $y$: $x = 5 + y$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$ \frac{1}{5+y} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} $
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$ \frac{y + (5+y)}{y(5+y)} = \frac{1}{6} $
$ \frac{2y+5}{y^2+5y} = \frac{1}{6} $
Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получим:
$ 6(2y+5) = y^2+5y $
$ 12y + 30 = y^2 + 5y $
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$ y^2 - 7y - 30 = 0 $
Найдем корни квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно -30. Корнями являются $y_1 = 10$ и $y_2 = -3$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = 5 + y$:
1. Если $y_1 = 10$, то $x_1 = 5 + 10 = 15$.
2. Если $y_2 = -3$, то $x_2 = 5 + (-3) = 2$.
Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(15, 10), (2, -3)$.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 6 \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \end{cases} $
Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.
Из первого уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 6 - x$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$ \frac{1}{x} - \frac{1}{6-x} = \frac{1}{4} $
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$ \frac{(6-x) - x}{x(6-x)} = \frac{1}{4} $
$ \frac{6-2x}{6x-x^2} = \frac{1}{4} $
Используя свойство пропорции, получим:
$ 4(6-2x) = 6x-x^2 $
$ 24 - 8x = 6x - x^2 $
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$ x^2 - 14x + 24 = 0 $
Найдем корни квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 14, а произведение равно 24. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 12$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = 6 - x$:
1. Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 6 - 2 = 4$.
2. Если $x_2 = 12$, то $y_2 = 6 - 12 = -6$.
Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(2, 4), (12, -6)$.

в)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 3x + y = 1 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -2.5 \end{cases} $
Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$. Представим $-2.5$ в виде дроби $-\frac{5}{2}$.
Из первого уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 1 - 3x$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$ \frac{1}{x} + \frac{1}{1-3x} = -\frac{5}{2} $
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$ \frac{1-3x + x}{x(1-3x)} = -\frac{5}{2} $
$ \frac{1-2x}{x-3x^2} = -\frac{5}{2} $
Используя свойство пропорции, получим:
$ 2(1-2x) = -5(x-3x^2) $
$ 2 - 4x = -5x + 15x^2 $
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$ 15x^2 - x - 2 = 0 $
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-2) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 11}{2 \cdot 15} = \frac{1 \pm 11}{30} $
Корни уравнения: $x_1 = \frac{1+11}{30} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$ и $x_2 = \frac{1-11}{30} = \frac{-10}{30} = -\frac{1}{3}$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = 1 - 3x$:
1. Если $x_1 = \frac{2}{5}$, то $y_1 = 1 - 3 \cdot \frac{2}{5} = 1 - \frac{6}{5} = -\frac{1}{5}$.
2. Если $x_2 = -\frac{1}{3}$, то $y_2 = 1 - 3 \cdot (-\frac{1}{3}) = 1 + 1 = 2$.
Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(\frac{2}{5}, -\frac{1}{5}), (-\frac{1}{3}, 2)$.

г)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{3} \\ x - 2y = 2 \end{cases} $
Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.
Из второго уравнения выразим $x$ через $y$: $x = 2 + 2y$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ \frac{1}{y} - \frac{1}{2+2y} = \frac{1}{3} $
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$ \frac{(2+2y) - y}{y(2+2y)} = \frac{1}{3} $
$ \frac{y+2}{2y^2+2y} = \frac{1}{3} $
Используя свойство пропорции, получим:
$ 3(y+2) = 2y^2+2y $
$ 3y + 6 = 2y^2 + 2y $
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$ 2y^2 - y - 6 = 0 $
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
$ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 7}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 7}{4} $
Корни уравнения: $y_1 = \frac{1+7}{4} = 2$ и $y_2 = \frac{1-7}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = 2 + 2y$:
1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 + 2 \cdot 2 = 6$.
2. Если $y_2 = -\frac{3}{2}$, то $x_2 = 2 + 2 \cdot (-\frac{3}{2}) = 2 - 3 = -1$.
Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(6, 2), (-1, -\frac{3}{2})$.