Страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

419. (Для работы в парах.) С помощью графиков решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} xy = 6, \\ 2x - 3y = 6; \end{cases}$ б) $\begin{cases} (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4, \\ y - x^2 = 0. \end{cases}$

1) Обсудите, какое множество точек задаёт на плоскости каждое уравнение системы в заданиях а) и б).

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли построены графики уравнений и определены координаты точек пересечения графиков.

Для решения систем уравнений графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения в одной координатной плоскости и найти координаты точек их пересечения. Каждое уравнение в задании задает определенное множество точек на плоскости:

В системе а):

• Уравнение $xy = 6$ задает гиперболу, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

• Уравнение $2x - 3y = 6$ задает прямую линию.

В системе б):

• Уравнение $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4$ задает окружность с центром в точке (3; 4) и радиусом 2.

• Уравнение $y - x^2 = 0$ задает параболу, ветви которой направлены вверх, с вершиной в начале координат.

а) Решим систему уравнений: $\begin{cases} xy = 6 \\ 2x - 3y = 6 \end{cases}$

1. Построим график первого уравнения $xy = 6$. Это гипербола. Выразим $y$ через $x$: $y = \frac{6}{x}$. Составим таблицу значений:

2. Построим график второго уравнения $2x - 3y = 6$. Это прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Выразим $y$ через $x$: $3y = 2x - 6$, откуда $y = \frac{2}{3}x - 2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:
• если $x=0$, то $y = \frac{2}{3}(0) - 2 = -2$. Точка (0; -2).
• если $y=0$, то $0 = \frac{2}{3}x - 2 \implies \frac{2}{3}x = 2 \implies x=3$. Точка (3; 0).

3. Построим оба графика в одной системе координат. Гипербола и прямая пересекаются в двух точках. Координаты этих точек являются решением системы. Определим их по графику. Точки пересечения имеют приблизительные координаты $(-1.85, -3.24)$ и $(4.85, 1.24)$.

Ответ: $(-1.85, -3.24)$, $(4.85, 1.24)$.

б) Решим систему уравнений: $\begin{cases} (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4 \\ y - x^2 = 0 \end{cases}$

1. Построим график первого уравнения $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4$. Это уравнение окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — центр окружности, а $R$ — ее радиус.
В нашем случае центр окружности находится в точке $(3, 4)$, а радиус $R = \sqrt{4} = 2$.

2. Построим график второго уравнения $y - x^2 = 0$. Выразим $y$ через $x$: $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Составим таблицу значений:

3. Построим окружность и параболу в одной системе координат. Графики пересекаются в двух точках. Координаты этих точек являются решением системы. Определим их по графику. Точки пересечения имеют приблизительные координаты $(1.6, 2.56)$ и $(2.4, 5.76)$.

Ответ: приблизительно $(1.6, 2.6)$ и $(2.4, 5.8)$.

420. Решите графически систему уравнений:

а) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ x + y + 2 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy = 8, \\ x + y + 3 = 0. \end{cases}$

Для решения системы уравнений графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения на одной координатной плоскости. Решениями системы будут координаты точек пересечения этих графиков.

Система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ x + y + 2 = 0. \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 16$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.

Второе уравнение $x + y + 2 = 0$ — это уравнение прямой. Преобразуем его к виду $y = kx + b$: $y = -x - 2$. Это прямая линия, для построения которой достаточно двух точек. Например, если $x = 0$, то $y = -2$ (точка (0, -2)), а если $y = 0$, то $x = -2$ (точка (-2, 0)).

Построив на координатной плоскости окружность и прямую, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек и являются решением системы. Хотя графический метод дает приблизительные значения, мы можем найти точные значения, решив систему аналитически.

Подставим $y = -x - 2$ в уравнение окружности: $x^2 + (-x - 2)^2 = 16$
$x^2 + x^2 + 4x + 4 = 16$
$2x^2 + 4x - 12 = 0$
$x^2 + 2x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 4 + 24 = 28$. Корни уравнения для $x$: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -1 \pm \sqrt{7}$.

Найдем соответствующие значения $y$: При $x_1 = -1 + \sqrt{7}$, $y_1 = -(-1 + \sqrt{7}) - 2 = 1 - \sqrt{7} - 2 = -1 - \sqrt{7}$. При $x_2 = -1 - \sqrt{7}$, $y_2 = -(-1 - \sqrt{7}) - 2 = 1 + \sqrt{7} - 2 = -1 + \sqrt{7}$. Таким образом, точки пересечения имеют точные координаты $(-1 + \sqrt{7}; -1 - \sqrt{7})$ и $(-1 - \sqrt{7}; -1 + \sqrt{7})$.

Ответ: $(-1 + \sqrt{7}; -1 - \sqrt{7})$, $(-1 - \sqrt{7}; -1 + \sqrt{7})$.

Для решения системы уравнений графическим методом построим графики каждого уравнения на одной координатной плоскости.

Система уравнений: $ \begin{cases} xy = 8, \\ x + y + 3 = 0. \end{cases} $

Первое уравнение $xy = 8$ можно записать как $y = \frac{8}{x}$. Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат. Для построения можно взять точки (2, 4), (4, 2), (-2, -4), (-4, -2).

Второе уравнение $x + y + 3 = 0$ — это уравнение прямой. Преобразуем его к виду $y = kx + b$: $y = -x - 3$. Это прямая линия. Для ее построения найдем две точки: если $x = 0$, то $y = -3$ (точка (0, -3)), а если $y = 0$, то $x = -3$ (точка (-3, 0)).

Построим на одной координатной плоскости графики гиперболы $y = \frac{8}{x}$ и прямой $y = -x - 3$. Из чертежа видно, что графики не пересекаются.

Чтобы убедиться в отсутствии решений, решим систему аналитически. Подставим $y = -x - 3$ в первое уравнение: $x(-x - 3) = 8$
$-x^2 - 3x = 8$
$x^2 + 3x + 8 = 0$

Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 9 - 32 = -23$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики функций не пересекаются, и система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

421. Изобразив схематически графики уравнений, выясните, имеет ли решения система уравнений и если имеет, то сколько:

а) $\begin{cases} y = x^3, \\ xy = -12; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^2 + 8, \\ y = -x^2 + 12; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = x^2 + 1, \\ xy = 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ (x - 10)^2 + y^2 = 16. \end{cases}$

а)

Первое уравнение системы — $y = x^3$. Его график — кубическая парабола, которая проходит через начало координат и располагается в I и III координатных четвертях.

Второе уравнение системы — $xy = -12$, или $y = -12/x$. Его график — гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

Поскольку график кубической параболы находится в I и III четвертях, а график гиперболы — во II и IV, они не имеют общих точек пересечения. Алгебраически, подставив $y$ из первого уравнения во второе, получаем $x \cdot x^3 = -12$, то есть $x^4 = -12$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как четвёртая степень любого действительного числа неотрицательна.

Ответ: решений нет.

б)

Первое уравнение системы — $y = x^2 + 8$. Его график — парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 8 единиц вверх по оси OY. Её ветви направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 8)$.

Второе уравнение системы — $y = -x^2 + 12$. Его график — парабола, полученная отражением графика $y=x^2$ относительно оси OX и сдвигом на 12 единиц вверх. Её ветви направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 12)$.

Так как одна парабола с вершиной в $(0, 8)$ открывается вверх, а другая с вершиной в $(0, 12)$ — вниз, очевидно, что они пересекаются. Чтобы найти количество точек пересечения, приравняем правые части уравнений:
$x^2 + 8 = -x^2 + 12$
$2x^2 = 4$
$x^2 = 2$
Уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$. Каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$. Следовательно, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: 2 решения.

в)

Первое уравнение системы — $y = x^2 + 1$. Его график — парабола с вершиной в точке $(0, 1)$, ветви которой направлены вверх. График полностью лежит выше оси OX (в I и II четвертях).

Второе уравнение системы — $xy = 3$, или $y = 3/x$. Его график — гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

Пересечение графиков возможно только в I координатной четверти, где обе функции существуют ($x>0, y>0$). Подставим $y$ из второго уравнения в первое:
$3/x = x^2 + 1$
$3 = x^3 + x$
$x^3 + x - 3 = 0$
Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + x - 3$. Её производная $f'(x) = 3x^2 + 1$ всегда положительна, значит, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Поэтому она может пересекать ось OX (то есть $f(x)=0$) не более одного раза. Так как $f(1) = 1+1-3 = -1 < 0$ и $f(2) = 8+2-3 = 7 > 0$, то на интервале $(1, 2)$ существует единственный корень. Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: 1 решение.

г)

Первое уравнение системы $x^2 + y^2 = 9$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r_1 = \sqrt{9} = 3$.

Второе уравнение системы $(x-10)^2 + y^2 = 16$ — это уравнение окружности с центром в точке $(10, 0)$ и радиусом $r_2 = \sqrt{16} = 4$.

Две окружности пересекаются, если расстояние между их центрами меньше суммы их радиусов и больше модуля их разности. Расстояние $d$ между центрами $(0, 0)$ и $(10, 0)$ равно $d = \sqrt{(10-0)^2 + (0-0)^2} = 10$. Сумма радиусов $r_1 + r_2 = 3 + 4 = 7$. Поскольку расстояние между центрами $d = 10$ больше, чем сумма радиусов $r_1 + r_2 = 7$, окружности не пересекаются и даже не касаются. Они расположены отдельно друг от друга.

Ответ: решений нет.

422. Решите графически систему уравнений:

а) $\begin{cases} (x-4)^2 + (y-5)^2 = 9, \\ y = x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ x + y = 6. \end{cases}$

а)

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точки их пересечения.

Система уравнений:

$ \begin{cases} (x-4)^2 + (y-5)^2 = 9, \\ y = x; \end{cases} $

Первое уравнение, $(x-4)^2 + (y-5)^2 = 9$, является уравнением окружности. Стандартный вид уравнения окружности: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $r$ — радиус. Для данного уравнения центр окружности находится в точке $C(4, 5)$, а радиус $r = \sqrt{9} = 3$.

Второе уравнение, $y = x$, является уравнением прямой. Эта прямая — биссектриса I и III координатных четвертей, проходящая через начало координат.

Построим графики. Координаты точек пересечения графиков являются решениями системы.

Из построенных графиков видно, что окружность и прямая пересекаются в двух точках. Поскольку точно определить координаты по графику затруднительно, найдем их аналитически, подставив $y=x$ в уравнение окружности:

$(x-4)^2 + (x-5)^2 = 9$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 8x + 16 + x^2 - 10x + 25 = 9$

$2x^2 - 18x + 41 = 9$

$2x^2 - 18x + 32 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 9x + 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы корней:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 81 - 64 = 17$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{2}$

Получаем два значения для $x$:

$x_1 = \frac{9 - \sqrt{17}}{2}$ и $x_2 = \frac{9 + \sqrt{17}}{2}$

Поскольку $y=x$, то соответствующие значения $y$ будут такими же:

$y_1 = \frac{9 - \sqrt{17}}{2}$ и $y_2 = \frac{9 + \sqrt{17}}{2}$

Следовательно, система имеет два решения — это координаты точек пересечения:

Ответ: $(\frac{9 - \sqrt{17}}{2}, \frac{9 - \sqrt{17}}{2})$, $(\frac{9 + \sqrt{17}}{2}, \frac{9 + \sqrt{17}}{2})$.

б)

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точки их пересечения.

Система уравнений:

$ \begin{cases} y - x^2 = 0, \\ x + y = 6. \end{cases} $

Преобразуем уравнения для удобства построения графиков:

$ \begin{cases} y = x^2, \\ y = -x + 6. \end{cases} $

Первое уравнение, $y = x^2$, задает параболу, вершина которой находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх.

Второе уравнение, $y = -x + 6$, задает прямую. Для ее построения найдем две точки, например, точки пересечения с осями координат:
при $x=0$, $y=6$ (точка $(0, 6)$);
при $y=0$, $x=6$ (точка $(6, 0)$).

Построим графики параболы и прямой. Координаты точек пересечения графиков являются решениями системы.

На графике видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках. Их координаты можно определить по чертежу: $(2, 4)$ и $(-3, 9)$.

Для проверки выполним аналитическое решение. Приравняем правые части уравнений системы:

$x^2 = -x + 6$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-6$. Легко подобрать корни:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в любое из уравнений системы (например, в $y=x^2$):

Для $x_1 = 2$: $y_1 = 2^2 = 4$.

Для $x_2 = -3$: $y_2 = (-3)^2 = 9$.

Таким образом, точки пересечения: $(2, 4)$ и $(-3, 9)$. Это подтверждает результаты, полученные графическим методом.

Ответ: $(2, 4)$, $(-3, 9)$.

423. Решите графически систему уравнений $ \begin{cases} x^2 - 4 = 0, \\ y^2 - 9 = 0. \end{cases} $

Для того чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить график каждого уравнения на координатной плоскости и найти координаты точек их пересечения.

1. Анализ и построение графика первого уравнения $x^2 - 4 = 0$

Преобразуем первое уравнение системы:

$x^2 - 4 = 0$

$x^2 = 4$

Данное уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Каждый из этих корней представляет собой уравнение прямой на координатной плоскости. График уравнения $x=2$ — это вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(2, 0)$. График уравнения $x=-2$ — это вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(-2, 0)$. Таким образом, графиком уравнения $x^2 - 4 = 0$ является совокупность двух вертикальных прямых.

2. Анализ и построение графика второго уравнения $y^2 - 9 = 0$

Преобразуем второе уравнение системы:

$y^2 - 9 = 0$

$y^2 = 9$

Данное уравнение также имеет два корня: $y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.

Каждый из этих корней также представляет собой уравнение прямой. График уравнения $y=3$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 3)$. График уравнения $y=-3$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, -3)$. Таким образом, графиком уравнения $y^2 - 9 = 0$ является совокупность двух горизонтальных прямых.

3. Нахождение точек пересечения

Решениями системы являются координаты точек, в которых графики уравнений пересекаются. В нашем случае это точки пересечения двух вертикальных прямых ($x=2$ и $x=-2$) и двух горизонтальных прямых ($y=3$ и $y=-3$).

Найдем все точки пересечения:

1. Пересечение прямых $x=2$ и $y=3$ дает точку с координатами $(2, 3)$.

2. Пересечение прямых $x=2$ и $y=-3$ дает точку с координатами $(2, -3)$.

3. Пересечение прямых $x=-2$ и $y=3$ дает точку с координатами $(-2, 3)$.

4. Пересечение прямых $x=-2$ и $y=-3$ дает точку с координатами $(-2, -3)$.

Таким образом, мы получили четыре точки пересечения, которые и являются решениями данной системы уравнений.

Ответ: $(2, 3), (2, -3), (-2, 3), (-2, -3)$.

424. Составьте уравнение, графиком которого является:

а) пара прямых $y=x+1$ и $y=x-1$;

б) парабола $y=x^2$ и прямая $y=-2$.

а) Чтобы найти одно уравнение, графиком которого является объединение двух заданных графиков (в данном случае, двух прямых), можно использовать следующий принцип: если график состоит из кривых $f(x,y)=0$ и $g(x,y)=0$, то их объединение описывается уравнением $f(x,y) \cdot g(x,y)=0$. Это следует из того, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Заданные прямые: $y = x + 1$ и $y = x - 1$.
Представим каждое уравнение в виде $f(x,y)=0$:

1. $y - (x + 1) = 0 \implies y - x - 1 = 0$
2. $y - (x - 1) = 0 \implies y - x + 1 = 0$

Теперь перемножим левые части этих уравнений:

$(y - x - 1)(y - x + 1) = 0$

Это и есть искомое уравнение. Для удобства его можно упростить, применив формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$. Пусть $a = y-x$ и $b=1$. Тогда:

$((y-x)-1)((y-x)+1) = 0$

$(y-x)^2 - 1^2 = 0$

$(y-x)^2 - 1 = 0$

Ответ: $(y-x)^2 - 1 = 0$

б) Используем тот же подход для параболы $y = x^2$ и прямой $y = -2$.

Сначала представим оба уравнения в виде, где правая часть равна нулю:

1. $y - x^2 = 0$
2. $y - (-2) = 0 \implies y + 2 = 0$

Далее, перемножим левые части полученных уравнений, чтобы получить одно уравнение, описывающее объединение этих двух графиков:

$(y - x^2)(y + 2) = 0$

Если точка $(x,y)$ лежит на параболе, то первый множитель $y - x^2$ равен нулю, и все уравнение обращается в ноль. Если точка лежит на прямой, то второй множитель $y+2$ равен нулю, и все уравнение также обращается в ноль. Таким образом, это уравнение описывает совокупность всех точек, принадлежащих параболе $y=x^2$ или прямой $y=-2$.

Ответ: $(y - x^2)(y + 2) = 0$

425. При каком значении b пара чисел (18; 3) является решением системы уравнений

$\begin{cases} x - 2y = 4b, \\ 2x + y = 39? \end{cases}$

По условию задачи, пара чисел $(18; 3)$ является решением системы уравнений. Это означает, что при подстановке значений $x = 18$ и $y = 3$ в оба уравнения системы, мы должны получить верные числовые равенства.

Система уравнений имеет вид: $$ \begin{cases} x - 2y = 4b, \\ 2x + y = 39 \end{cases} $$

Поскольку пара $(18; 3)$ является решением, она должна удовлетворять первому уравнению. Подставим в него значения $x = 18$ и $y = 3$, чтобы найти неизвестный параметр $b$.

$x - 2y = 4b$ $$18 - 2 \cdot 3 = 4b$$

Выполним вычисления в левой части уравнения: $$18 - 6 = 4b$$ $$12 = 4b$$

Теперь найдем $b$, разделив обе части уравнения на 4: $$b = \frac{12}{4}$$ $$b = 3$$

Для проверки можно подставить значения $x=18$ и $y=3$ во второе уравнение, чтобы убедиться, что пара чисел ему удовлетворяет: $$2x + y = 39$$ $$2 \cdot 18 + 3 = 36 + 3 = 39$$ $$39 = 39$$ Равенство верное. Следовательно, значение $b$ найдено правильно.

Ответ: 3.