Страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

401. Составьте уравнение с двумя переменными, график которого изображён на рисунке 64.

a) $(x-3)(y-2) = 0$

б) $(x+2)(y+2) = 0$

в) $y^2 = 4$

г) $(x+2)(x-3) = 0$

Рис. 64

а) На рисунке изображены два графика: вертикальная прямая и горизонтальная прямая. Вертикальная прямая проходит через все точки, у которых абсцисса (координата $x$) равна 3. Следовательно, ее уравнение $x=3$. Горизонтальная прямая проходит через все точки, у которых ордината (координата $y$) равна 3. Ее уравнение $y=3$. График, изображенный на рисунке, является объединением этих двух прямых. Это означает, что точка $(x, y)$ принадлежит графику, если она лежит либо на первой прямой (т.е. $x=3$), либо на второй (т.е. $y=3$). Условия $x=3$ и $y=3$ можно переписать в виде $x-3=0$ и $y-3=0$. Условие «$x-3=0$ или $y-3=0$» эквивалентно уравнению, в котором произведение этих выражений равно нулю, так как произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, искомое уравнение с двумя переменными: $(x-3)(y-3)=0$.

Ответ: $(x-3)(y-3)=0$.

б) На рисунке изображены вертикальная и горизонтальная прямые. Вертикальная прямая пересекает ось $x$ в точке $x=-2$. Уравнение такой прямой — $x=-2$. Горизонтальная прямая пересекает ось $y$ в точке $y=-2$. Уравнение такой прямой — $y=-2$. Объединение этих двух прямых можно описать одним уравнением. Точка $(x, y)$ принадлежит графику, если выполняется условие $x=-2$ или $y=-2$. Перепишем эти уравнения как $x+2=0$ и $y+2=0$. Условие «$x+2=0$ или $y+2=0$» эквивалентно уравнению: $(x+2)(y+2)=0$.

Ответ: $(x+2)(y+2)=0$.

в) На рисунке изображены две горизонтальные прямые. Верхняя прямая параллельна оси $x$ и пересекает ось $y$ в точке $y=1.5$. Ее уравнение $y=1.5$. Нижняя прямая также параллельна оси $x$ и пересекает ось $y$ в точке $y=-1.5$. Ее уравнение $y=-1.5$. График является объединением этих двух прямых. Точка $(x, y)$ принадлежит графику, если $y=1.5$ или $y=-1.5$. Перепишем уравнения в виде $y-1.5=0$ и $y+1.5=0$. Объединенное уравнение имеет вид: $(y-1.5)(y+1.5)=0$. Это уравнение можно также записать, используя формулу разности квадратов: $y^2 - (1.5)^2 = 0$, то есть $y^2 - 2.25 = 0$.

Ответ: $(y-1.5)(y+1.5)=0$.

г) На рисунке изображены две вертикальные прямые. Левая прямая параллельна оси $y$ и пересекает ось $x$ в точке $x=-2$. Ее уравнение $x=-2$. Правая прямая также параллельна оси $y$ и пересекает ось $x$ в точке $x=4$. Ее уравнение $x=4$. График является объединением этих двух прямых. Точка $(x, y)$ принадлежит графику, если $x=-2$ или $x=4$. Перепишем уравнения в виде $x+2=0$ и $x-4=0$. Объединенное уравнение имеет вид: $(x+2)(x-4)=0$. Раскрыв скобки, это уравнение можно также записать как $x^2 - 4x + 2x - 8 = 0$, то есть $x^2 - 2x - 8 = 0$.

Ответ: $(x+2)(x-4)=0$.

402. Постройте график уравнения:

a) $xy = 6;$

б) $y - 0,5x^2 = 1;$

в) $x^2 + y^2 = 9;$

г) $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 4.$

а) Уравнение $xy = 6$ представляет собой обратную пропорциональность. Чтобы построить график, выразим $y$ через $x$:
$y = \frac{6}{x}$
Это уравнение гиперболы. График состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях, так как произведение $xy$ положительно. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами для этого графика, то есть кривая будет бесконечно к ним приближаться, но никогда не пересечет.
Для построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

• при $x=1, y=6$
• при $x=2, y=3$
• при $x=3, y=2$
• при $x=6, y=1$
• при $x=-1, y=-6$
• при $x=-2, y=-3$
• при $x=-3, y=-2$
• при $x=-6, y=-1$

Соединив эти точки плавными линиями, получим две ветви гиперболы.
Ответ: Графиком уравнения является гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях, симметричными относительно начала координат. Асимптоты графика — оси Ox и Oy.

б) Преобразуем уравнение $y - 0,5x^2 = 1$, выразив $y$:
$y = 0,5x^2 + 1$
Это уравнение параболы. Стандартный вид параболы $y = ax^2 + bx + c$. В нашем случае $a = 0,5$, $b = 0$, $c = 1$.
Поскольку коэффициент $a=0,5 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ можно найти по формулам $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$.
$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 0,5} = 0$
$y_0 = 0,5 \cdot 0^2 + 1 = 1$
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, 1)$.
График симметричен относительно оси Oy. Найдем еще несколько точек:

• при $x=1, y = 0,5(1)^2 + 1 = 1,5$
• при $x=-1, y = 0,5(-1)^2 + 1 = 1,5$
• при $x=2, y = 0,5(2)^2 + 1 = 3$
• при $x=-2, y = 0,5(-2)^2 + 1 = 3$

Ответ: Графиком уравнения является парабола с вершиной в точке $(0, 1)$, ветви которой направлены вверх.

в) Уравнение $x^2 + y^2 = 9$ является уравнением окружности.
Общее уравнение окружности с центром в точке $(h, k)$ и радиусом $r$ имеет вид:
$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$
В нашем случае уравнение можно переписать как:
$(x-0)^2 + (y-0)^2 = 3^2$
Сравнивая с общей формой, получаем, что центр окружности находится в точке $(h, k) = (0, 0)$ (начало координат), а радиус $r = 3$.
Для построения графика нужно начертить окружность с центром в (0, 0) и радиусом 3. Она будет пересекать оси координат в точках (3, 0), (-3, 0), (0, 3) и (0, -3).
Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $3$.

г) Уравнение $(x+1)^2 + (y-1)^2 = 4$ также является уравнением окружности.
Используем общую формулу окружности: $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$.
Перепишем данное уравнение в стандартном виде:
$(x - (-1))^2 + (y - 1)^2 = 2^2$
Отсюда видно, что координаты центра окружности $(h, k) = (-1, 1)$, а радиус $r = 2$.
Чтобы построить график, нужно отметить на координатной плоскости точку $(-1, 1)$ и провести из нее окружность радиусом 2.
Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(-1, 1)$ и радиусом $2$.

403. (Для работы в парах.) Постройте график уравнения:

а) $(x - 5)(y + 6) = 0$;

б) $(x - 4)(x + 2) = 0$;

в) $x^2 + (y - 1)^2 = 0$;

г) $(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 1$.

1) Обсудите, какая фигура является графиком уравнения в каждом случае.

2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли построены графики уравнений.

а)

Уравнение $(x - 5)(y + 6) = 0$ представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x - 5 = 0$ или $y + 6 = 0$.

Первое уравнение, $x = 5$, задает на координатной плоскости вертикальную прямую, проходящую через все точки с абсциссой 5.

Второе уравнение, $y = -6$, задает горизонтальную прямую, проходящую через все точки с ординатой -6.

Таким образом, графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых, которые пересекаются в точке $(5, -6)$.

Ответ: Графиком является пара пересекающихся прямых, заданных уравнениями $x=5$ и $y=-6$.

б)

Уравнение $(x - 4)(x + 2) = 0$ также основано на свойстве произведения, равного нулю. Уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

$x - 4 = 0$ или $x + 2 = 0$.

Из первого уравнения получаем $x = 4$. Это уравнение задает вертикальную прямую, параллельную оси Oy и проходящую через точку $(4, 0)$.

Из второго уравнения получаем $x = -2$. Это уравнение задает другую вертикальную прямую, параллельную оси Oy и проходящую через точку $(-2, 0)$.

Следовательно, графиком данного уравнения является объединение двух параллельных прямых.

Ответ: Графиком является пара параллельных прямых, заданных уравнениями $x=4$ и $x=-2$.

в)

Уравнение $x^2 + (y - 1)^2 = 0$ представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых, так как $x^2 \ge 0$ и $(y - 1)^2 \ge 0$ для любых действительных $x$ и $y$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Таким образом, уравнение равносильно системе:

$x^2 = 0$ и $(y - 1)^2 = 0$.

Из первого уравнения следует $x=0$. Из второго уравнения следует $y-1=0$, то есть $y=1$.

Система имеет единственное решение — пару чисел $(0, 1)$. Это означает, что графиком уравнения является одна точка на координатной плоскости. Данное уравнение также можно рассматривать как уравнение окружности с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом $R=0$.

Ответ: Графиком является точка с координатами $(0, 1)$.

г)

Уравнение $(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 1$ является каноническим уравнением окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Сравнивая данное уравнение со стандартной формой, мы можем определить параметры окружности:

Центр окружности находится в точке с координатами $(a, b)$. Из $(x - 5)^2$ получаем $a=5$. Из $(y + 2)^2 = (y - (-2))^2$ получаем $b=-2$. Таким образом, центр — точка $(5, -2)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 1$, следовательно, радиус $R = \sqrt{1} = 1$.

Графиком данного уравнения является окружность.

Ответ: Графиком является окружность с центром в точке $(5, -2)$ и радиусом 1.