Номер 401, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

401. Составьте уравнение с двумя переменными, график которого изображён на рисунке 64.

a) $(x-3)(y-2) = 0$

б) $(x+2)(y+2) = 0$

в) $y^2 = 4$

г) $(x+2)(x-3) = 0$

Рис. 64

а) На рисунке изображены два графика: вертикальная прямая и горизонтальная прямая. Вертикальная прямая проходит через все точки, у которых абсцисса (координата $x$) равна 3. Следовательно, ее уравнение $x=3$. Горизонтальная прямая проходит через все точки, у которых ордината (координата $y$) равна 3. Ее уравнение $y=3$. График, изображенный на рисунке, является объединением этих двух прямых. Это означает, что точка $(x, y)$ принадлежит графику, если она лежит либо на первой прямой (т.е. $x=3$), либо на второй (т.е. $y=3$). Условия $x=3$ и $y=3$ можно переписать в виде $x-3=0$ и $y-3=0$. Условие «$x-3=0$ или $y-3=0$» эквивалентно уравнению, в котором произведение этих выражений равно нулю, так как произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, искомое уравнение с двумя переменными: $(x-3)(y-3)=0$.

Ответ: $(x-3)(y-3)=0$.

б) На рисунке изображены вертикальная и горизонтальная прямые. Вертикальная прямая пересекает ось $x$ в точке $x=-2$. Уравнение такой прямой — $x=-2$. Горизонтальная прямая пересекает ось $y$ в точке $y=-2$. Уравнение такой прямой — $y=-2$. Объединение этих двух прямых можно описать одним уравнением. Точка $(x, y)$ принадлежит графику, если выполняется условие $x=-2$ или $y=-2$. Перепишем эти уравнения как $x+2=0$ и $y+2=0$. Условие «$x+2=0$ или $y+2=0$» эквивалентно уравнению: $(x+2)(y+2)=0$.

Ответ: $(x+2)(y+2)=0$.

в) На рисунке изображены две горизонтальные прямые. Верхняя прямая параллельна оси $x$ и пересекает ось $y$ в точке $y=1.5$. Ее уравнение $y=1.5$. Нижняя прямая также параллельна оси $x$ и пересекает ось $y$ в точке $y=-1.5$. Ее уравнение $y=-1.5$. График является объединением этих двух прямых. Точка $(x, y)$ принадлежит графику, если $y=1.5$ или $y=-1.5$. Перепишем уравнения в виде $y-1.5=0$ и $y+1.5=0$. Объединенное уравнение имеет вид: $(y-1.5)(y+1.5)=0$. Это уравнение можно также записать, используя формулу разности квадратов: $y^2 - (1.5)^2 = 0$, то есть $y^2 - 2.25 = 0$.

Ответ: $(y-1.5)(y+1.5)=0$.

г) На рисунке изображены две вертикальные прямые. Левая прямая параллельна оси $y$ и пересекает ось $x$ в точке $x=-2$. Ее уравнение $x=-2$. Правая прямая также параллельна оси $y$ и пересекает ось $x$ в точке $x=4$. Ее уравнение $x=4$. График является объединением этих двух прямых. Точка $(x, y)$ принадлежит графику, если $x=-2$ или $x=4$. Перепишем уравнения в виде $x+2=0$ и $x-4=0$. Объединенное уравнение имеет вид: $(x+2)(x-4)=0$. Раскрыв скобки, это уравнение можно также записать как $x^2 - 4x + 2x - 8 = 0$, то есть $x^2 - 2x - 8 = 0$.

Ответ: $(x+2)(x-4)=0$.