Номер 402, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

402. Постройте график уравнения:

a) $xy = 6;$

б) $y - 0,5x^2 = 1;$

в) $x^2 + y^2 = 9;$

г) $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 4.$

а) Уравнение $xy = 6$ представляет собой обратную пропорциональность. Чтобы построить график, выразим $y$ через $x$:
$y = \frac{6}{x}$
Это уравнение гиперболы. График состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях, так как произведение $xy$ положительно. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами для этого графика, то есть кривая будет бесконечно к ним приближаться, но никогда не пересечет.
Для построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

• при $x=1, y=6$
• при $x=2, y=3$
• при $x=3, y=2$
• при $x=6, y=1$
• при $x=-1, y=-6$
• при $x=-2, y=-3$
• при $x=-3, y=-2$
• при $x=-6, y=-1$

Соединив эти точки плавными линиями, получим две ветви гиперболы.
Ответ: Графиком уравнения является гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях, симметричными относительно начала координат. Асимптоты графика — оси Ox и Oy.

б) Преобразуем уравнение $y - 0,5x^2 = 1$, выразив $y$:
$y = 0,5x^2 + 1$
Это уравнение параболы. Стандартный вид параболы $y = ax^2 + bx + c$. В нашем случае $a = 0,5$, $b = 0$, $c = 1$.
Поскольку коэффициент $a=0,5 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ можно найти по формулам $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$.
$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 0,5} = 0$
$y_0 = 0,5 \cdot 0^2 + 1 = 1$
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, 1)$.
График симметричен относительно оси Oy. Найдем еще несколько точек:

• при $x=1, y = 0,5(1)^2 + 1 = 1,5$
• при $x=-1, y = 0,5(-1)^2 + 1 = 1,5$
• при $x=2, y = 0,5(2)^2 + 1 = 3$
• при $x=-2, y = 0,5(-2)^2 + 1 = 3$

Ответ: Графиком уравнения является парабола с вершиной в точке $(0, 1)$, ветви которой направлены вверх.

в) Уравнение $x^2 + y^2 = 9$ является уравнением окружности.
Общее уравнение окружности с центром в точке $(h, k)$ и радиусом $r$ имеет вид:
$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$
В нашем случае уравнение можно переписать как:
$(x-0)^2 + (y-0)^2 = 3^2$
Сравнивая с общей формой, получаем, что центр окружности находится в точке $(h, k) = (0, 0)$ (начало координат), а радиус $r = 3$.
Для построения графика нужно начертить окружность с центром в (0, 0) и радиусом 3. Она будет пересекать оси координат в точках (3, 0), (-3, 0), (0, 3) и (0, -3).
Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $3$.

г) Уравнение $(x+1)^2 + (y-1)^2 = 4$ также является уравнением окружности.
Используем общую формулу окружности: $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$.
Перепишем данное уравнение в стандартном виде:
$(x - (-1))^2 + (y - 1)^2 = 2^2$
Отсюда видно, что координаты центра окружности $(h, k) = (-1, 1)$, а радиус $r = 2$.
Чтобы построить график, нужно отметить на координатной плоскости точку $(-1, 1)$ и провести из нее окружность радиусом 2.
Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(-1, 1)$ и радиусом $2$.