Номер 403, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

403. (Для работы в парах.) Постройте график уравнения:

а) $(x - 5)(y + 6) = 0$;

б) $(x - 4)(x + 2) = 0$;

в) $x^2 + (y - 1)^2 = 0$;

г) $(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 1$.

1) Обсудите, какая фигура является графиком уравнения в каждом случае.

2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли построены графики уравнений.

а)

Уравнение $(x - 5)(y + 6) = 0$ представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x - 5 = 0$ или $y + 6 = 0$.

Первое уравнение, $x = 5$, задает на координатной плоскости вертикальную прямую, проходящую через все точки с абсциссой 5.

Второе уравнение, $y = -6$, задает горизонтальную прямую, проходящую через все точки с ординатой -6.

Таким образом, графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых, которые пересекаются в точке $(5, -6)$.

Ответ: Графиком является пара пересекающихся прямых, заданных уравнениями $x=5$ и $y=-6$.

б)

Уравнение $(x - 4)(x + 2) = 0$ также основано на свойстве произведения, равного нулю. Уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

$x - 4 = 0$ или $x + 2 = 0$.

Из первого уравнения получаем $x = 4$. Это уравнение задает вертикальную прямую, параллельную оси Oy и проходящую через точку $(4, 0)$.

Из второго уравнения получаем $x = -2$. Это уравнение задает другую вертикальную прямую, параллельную оси Oy и проходящую через точку $(-2, 0)$.

Следовательно, графиком данного уравнения является объединение двух параллельных прямых.

Ответ: Графиком является пара параллельных прямых, заданных уравнениями $x=4$ и $x=-2$.

в)

Уравнение $x^2 + (y - 1)^2 = 0$ представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых, так как $x^2 \ge 0$ и $(y - 1)^2 \ge 0$ для любых действительных $x$ и $y$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Таким образом, уравнение равносильно системе:

$x^2 = 0$ и $(y - 1)^2 = 0$.

Из первого уравнения следует $x=0$. Из второго уравнения следует $y-1=0$, то есть $y=1$.

Система имеет единственное решение — пару чисел $(0, 1)$. Это означает, что графиком уравнения является одна точка на координатной плоскости. Данное уравнение также можно рассматривать как уравнение окружности с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом $R=0$.

Ответ: Графиком является точка с координатами $(0, 1)$.

г)

Уравнение $(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 1$ является каноническим уравнением окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Сравнивая данное уравнение со стандартной формой, мы можем определить параметры окружности:

Центр окружности находится в точке с координатами $(a, b)$. Из $(x - 5)^2$ получаем $a=5$. Из $(y + 2)^2 = (y - (-2))^2$ получаем $b=-2$. Таким образом, центр — точка $(5, -2)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 1$, следовательно, радиус $R = \sqrt{1} = 1$.

Графиком данного уравнения является окружность.

Ответ: Графиком является окружность с центром в точке $(5, -2)$ и радиусом 1.