Номер 405, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

405. Напишите уравнение окружности, зная, что её центр находится в точке $K(2; -5)$ и она проходит через точку:

a) $A(-1; -1)$;

б) $B(-3; 7)$;

в) $C(1; -4)$.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
По условию задачи, центр окружности находится в точке $K(2; -5)$, следовательно, $x_0 = 2$ и $y_0 = -5$.
Подставив координаты центра в общее уравнение, получаем:
$(x - 2)^2 + (y - (-5))^2 = R^2$
$(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = R^2$
Чтобы найти уравнение окружности, нам осталось определить её радиус $R$. Радиус — это расстояние от центра окружности до любой точки на ней. Квадрат радиуса $R^2$ равен квадрату расстояния между центром $K$ и точкой, через которую проходит окружность.

а) Окружность проходит через точку $A(-1; -1)$.
Найдем квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния между точками $K(2; -5)$ и $A(-1; -1)$:
$R^2 = (-1 - 2)^2 + (-1 - (-5))^2 = (-3)^2 + (-1 + 5)^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Следовательно, уравнение окружности имеет вид: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 25$.
Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 25$

б) Окружность проходит через точку $B(-3; 7)$.
Найдем квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния между точками $K(2; -5)$ и $B(-3; 7)$:
$R^2 = (-3 - 2)^2 + (7 - (-5))^2 = (-5)^2 + (7 + 5)^2 = (-5)^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
Следовательно, уравнение окружности имеет вид: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 169$.
Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 169$

в) Окружность проходит через точку $C(1; -4)$.
Найдем квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния между точками $K(2; -5)$ и $C(1; -4)$:
$R^2 = (1 - 2)^2 + (-4 - (-5))^2 = (-1)^2 + (-4 + 5)^2 = (-1)^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.
Следовательно, уравнение окружности имеет вид: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 2$.
Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 2$