Номер 411, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

411. Найдите все целые решения уравнения:

а) $xy = 2$;

б) $x^2 - y^2 = 3$.

а) $xy = 2$

Требуется найти все целые решения уравнения, то есть все пары целых чисел $x$ и $y$, произведение которых равно 2. Это означает, что числа $x$ и $y$ должны быть целыми делителями числа 2.

Целыми делителями числа 2 являются: $1, -1, 2, -2$. Рассмотрим все возможные комбинации:

1. Если $x = 1$, то из уравнения $1 \cdot y = 2$ следует, что $y = 2$. Получаем пару $(1, 2)$.

2. Если $x = 2$, то из уравнения $2 \cdot y = 2$ следует, что $y = 1$. Получаем пару $(2, 1)$.

3. Если $x = -1$, то из уравнения $(-1) \cdot y = 2$ следует, что $y = -2$. Получаем пару $(-1, -2)$.

4. Если $x = -2$, то из уравнения $(-2) \cdot y = 2$ следует, что $y = -1$. Получаем пару $(-2, -1)$.

Других целых делителей у числа 2 нет, поэтому других целых решений у уравнения не существует.

Ответ: $(1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1)$.

б) $x^2 - y^2 = 3$

Для решения этого уравнения в целых числах воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Применив ее к левой части уравнения, получим: $(x-y)(x+y) = 3$.

Поскольку $x$ и $y$ по условию являются целыми числами, то их разность $(x-y)$ и сумма $(x+y)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 3, следовательно, они представляют собой пару целых делителей числа 3.

Парами целых делителей числа 3 являются $(1, 3)$, $(3, 1)$, $(-1, -3)$ и $(-3, -1)$. Рассмотрим каждую из этих пар как систему уравнений:

1. $\begin{cases} x-y = 1 \\ x+y = 3 \end{cases}$. Сложим оба уравнения системы: $(x-y) + (x+y) = 1+3$, что дает $2x = 4$, откуда $x=2$. Подставив $x=2$ во второе уравнение, получим $2+y=3$, откуда $y=1$. Решение: $(2, 1)$.

2. $\begin{cases} x-y = 3 \\ x+y = 1 \end{cases}$. Сложим уравнения: $(x-y) + (x+y) = 3+1$, что дает $2x = 4$, откуда $x=2$. Подставив $x=2$ во второе уравнение, получим $2+y=1$, откуда $y=-1$. Решение: $(2, -1)$.

3. $\begin{cases} x-y = -1 \\ x+y = -3 \end{cases}$. Сложим уравнения: $(x-y) + (x+y) = -1+(-3)$, что дает $2x = -4$, откуда $x=-2$. Подставив $x=-2$ во второе уравнение, получим $-2+y=-3$, откуда $y=-1$. Решение: $(-2, -1)$.

4. $\begin{cases} x-y = -3 \\ x+y = -1 \end{cases}$. Сложим уравнения: $(x-y) + (x+y) = -3+(-1)$, что дает $2x = -4$, откуда $x=-2$. Подставив $x=-2$ во второе уравнение, получим $-2+y=-1$, откуда $y=1$. Решение: $(-2, 1)$.

Мы рассмотрели все возможные случаи и нашли все целочисленные решения.

Ответ: $(2, 1), (2, -1), (-2, -1), (-2, 1)$.