Номер 414, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

414. Решите систему уравнений способом сложения:

a) $\begin{cases}5x + 2y = 30, \\3x + 4y = -3;\end{cases}$

б) $\begin{cases}2x - y = 85, \\5x - 2y = 200.\end{cases}$

а) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 5x + 2y = 30, \\ 3x + 4y = -3; \end{cases} $$

Для того чтобы использовать способ сложения, нам нужно, чтобы коэффициенты при одной из переменных были противоположными числами. Умножим первое уравнение на $-2$, чтобы коэффициент при переменной $y$ стал $-4$.

$$ -2 \cdot (5x + 2y) = -2 \cdot 30 \\ -10x - 4y = -60 $$

Теперь система выглядит так:

$$ \begin{cases} -10x - 4y = -60, \\ 3x + 4y = -3; \end{cases} $$

Сложим почленно левые и правые части уравнений системы:

$$ (-10x - 4y) + (3x + 4y) = -60 + (-3) \\ -7x = -63 $$

Отсюда находим $x$:

$$ x = \frac{-63}{-7} \\ x = 9 $$

Теперь подставим найденное значение $x = 9$ в любое из исходных уравнений, например, в первое: $5x + 2y = 30$.

$$ 5 \cdot 9 + 2y = 30 \\ 45 + 2y = 30 \\ 2y = 30 - 45 \\ 2y = -15 \\ y = -\frac{15}{2} \\ y = -7.5 $$

Проверим решение, подставив $x = 9$ и $y = -7.5$ во второе исходное уравнение: $3x + 4y = -3$.

$$ 3 \cdot 9 + 4 \cdot (-7.5) = 27 - 30 = -3 $$

Равенство верное, значит, система решена правильно.

Ответ: $(9; -7.5)$

б) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - y = 85, \\ 5x - 2y = 200. \end{cases} $$

Чтобы использовать способ сложения, умножим первое уравнение на $-2$, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными.

$$ -2 \cdot (2x - y) = -2 \cdot 85 \\ -4x + 2y = -170 $$

Новая система уравнений:

$$ \begin{cases} -4x + 2y = -170, \\ 5x - 2y = 200. \end{cases} $$

Сложим почленно уравнения системы:

$$ (-4x + 2y) + (5x - 2y) = -170 + 200 \\ x = 30 $$

Подставим значение $x = 30$ в первое исходное уравнение: $2x - y = 85$.

$$ 2 \cdot 30 - y = 85 \\ 60 - y = 85 \\ -y = 85 - 60 \\ -y = 25 \\ y = -25 $$

Проверим решение, подставив $x = 30$ и $y = -25$ во второе исходное уравнение: $5x - 2y = 200$.

$$ 5 \cdot 30 - 2 \cdot (-25) = 150 + 50 = 200 $$

Равенство верное, значит, система решена правильно.

Ответ: $(30; -25)$