Номер 417, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

417. Покажите с помощью графиков, что система уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = x^2 - 6 \end{cases} $ имеет четыре решения, и найдите их.

Покажите с помощью графиков, что система уравнений имеет четыре решения

Рассмотрим графики уравнений данной системы: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y = x^2 - 6 \end{cases} $

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 25$, является уравнением окружности. Центр этой окружности находится в начале координат, точке $(0, 0)$, а ее радиус равен $R = \sqrt{25} = 5$. Окружность симметрична относительно осей $Ox$ и $Oy$.

Второе уравнение, $y = x^2 - 6$, является уравнением параболы. Ее график получается смещением графика стандартной параболы $y = x^2$ на 6 единиц вниз вдоль оси $Oy$. Вершина этой параболы находится в точке $(0, -6)$, а ее ветви направлены вверх. Парабола симметрична относительно оси $Oy$.

Для того чтобы определить количество решений системы, нужно найти число точек пересечения этих двух графиков.

Проанализируем взаимное расположение графиков:

• Вершина параболы $(0, -6)$ находится ниже самой нижней точки окружности $(0, -5)$.
• Ветви параболы направлены вверх и неограниченно простираются вверх и в стороны.
• Найдем точки на параболе, которые находятся внутри окружности. Например, при $x = \pm 3$ на параболе получаем $y = (\pm 3)^2 - 6 = 9 - 6 = 3$. Точки $(\pm 3, 3)$ принадлежат параболе. Проверим, лежат ли они внутри окружности: $3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$. Так как $18 < 25$, эти точки находятся внутри окружности.

Поскольку вершина параболы лежит ниже окружности, а некоторые ее точки (например, $(\pm 3, 3)$) лежат внутри окружности, ветви параболы, поднимаясь вверх, должны пересечь окружность. Так как оба графика симметричны относительно оси $Oy$, и парабола "проходит сквозь" окружность, будет две точки пересечения для $x > 0$ и две симметричные им точки пересечения для $x < 0$. Следовательно, графики пересекаются в четырех точках.

Ответ: Построение и анализ графиков показывают, что они пересекаются в четырех различных точках, следовательно, система уравнений имеет четыре решения.

Найдите их

Для нахождения точных координат точек пересечения решим систему уравнений аналитически. Проще всего выразить $x^2$ из второго уравнения и подставить в первое.

Из уравнения $y = x^2 - 6$ получаем $x^2 = y + 6$.

Подставим это выражение в уравнение окружности $x^2 + y^2 = 25$:

$(y + 6) + y^2 = 25$

Получаем квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 + y + 6 - 25 = 0$

$y^2 + y - 19 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-19) = 1 + 76 = 77$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня для $y$:

$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{77}}{2}$

$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{77}}{2}$

Теперь для каждого значения $y$ найдем соответствующие значения $x$ из соотношения $x^2 = y + 6$.

1. Для $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{77}}{2}$:

$x^2 = \frac{-1 + \sqrt{77}}{2} + 6 = \frac{-1 + \sqrt{77} + 12}{2} = \frac{11 + \sqrt{77}}{2}$

Поскольку $11 + \sqrt{77} > 0$, получаем два значения для $x$:

$x = \pm\sqrt{\frac{11 + \sqrt{77}}{2}}$

Это дает нам две точки решения: $(\sqrt{\frac{11 + \sqrt{77}}{2}}, \frac{-1 + \sqrt{77}}{2})$ и $(-\sqrt{\frac{11 + \sqrt{77}}{2}}, \frac{-1 + \sqrt{77}}{2})$.

2. Для $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{77}}{2}$:

$x^2 = \frac{-1 - \sqrt{77}}{2} + 6 = \frac{-1 - \sqrt{77} + 12}{2} = \frac{11 - \sqrt{77}}{2}$

Поскольку $11^2 = 121$ и $(\sqrt{77})^2 = 77$, то $11 > \sqrt{77}$, значит $11 - \sqrt{77} > 0$. Следовательно, мы также получаем два значения для $x$:

$x = \pm\sqrt{\frac{11 - \sqrt{77}}{2}}$

Это дает еще две точки решения: $(\sqrt{\frac{11 - \sqrt{77}}{2}}, \frac{-1 - \sqrt{77}}{2})$ и $(-\sqrt{\frac{11 - \sqrt{77}}{2}}, \frac{-1 - \sqrt{77}}{2})$.

Таким образом, мы нашли все четыре решения системы.

Ответ: $(\sqrt{\frac{11 + \sqrt{77}}{2}}, \frac{\sqrt{77}-1}{2})$, $(-\sqrt{\frac{11 + \sqrt{77}}{2}}, \frac{\sqrt{77}-1}{2})$, $(\sqrt{\frac{11 - \sqrt{77}}{2}}, -\frac{1 + \sqrt{77}}{2})$, $(-\sqrt{\frac{11 - \sqrt{77}}{2}}, -\frac{1 + \sqrt{77}}{2})$.