Номер 416, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

416. Решите графически систему уравнений $\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ 2x - y + 3 = 0. \end{cases}$

Чтобы решить систему уравнений графически, нужно построить графики для каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точек пересечения этих графиков и будут являться решением системы.

Построение графика уравнения $y - x^2 = 0$

Сначала преобразуем первое уравнение, выразив $y$ через $x$: $y = x^2$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$, а ее ветви направлены вверх. Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

- при $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$; точка $(-2, 4)$
- при $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$; точка $(-1, 1)$
- при $x = 0$, $y = 0^2 = 0$; точка $(0, 0)$
- при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$; точка $(1, 1)$
- при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$; точка $(2, 4)$
- при $x = 3$, $y = 3^2 = 9$; точка $(3, 9)$

Построение графика уравнения $2x - y + 3 = 0$

Теперь преобразуем второе уравнение, также выразив $y$ через $x$: $y = 2x + 3$. Это линейная функция, графиком которой является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек:

- при $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 + 3 = 3$; точка $(0, 3)$
- при $x = -1$, $y = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$; точка $(-1, 1)$

Нахождение решения системы

Построим параболу $y = x^2$ и прямую $y = 2x + 3$ в одной и той же системе координат. Мы увидим, что графики пересекаются в двух точках. Координаты этих точек пересечения и есть решение системы. По графику видно, что это точки с координатами $(-1, 1)$ и $(3, 9)$.

Проверка

Для уверенности в правильности решения выполним проверку, подставив координаты найденных точек в исходные уравнения системы.

Проверка для точки $(-1, 1)$:

$y - x^2 = 1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0$ (Верно)
$2x - y + 3 = 2(-1) - 1 + 3 = -2 - 1 + 3 = 0$ (Верно)

Проверка для точки $(3, 9)$:

$y - x^2 = 9 - 3^2 = 9 - 9 = 0$ (Верно)
$2x - y + 3 = 2(3) - 9 + 3 = 6 - 9 + 3 = 0$ (Верно)

Обе пары координат удовлетворяют обоим уравнениям, значит, решение найдено верно.

Ответ: $(-1, 1), (3, 9)$.