Страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

415. Является ли решением системы уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ 6x + 5y = -4 \end{cases} $

пара чисел:

а) (-2; 1);

б) (1; -2)?

Чтобы проверить, является ли пара чисел решением системы уравнений, нужно подставить значения переменных из этой пары в каждое уравнение системы. Если оба уравнения превратятся в верные числовые равенства, то данная пара является решением системы.

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ 6x + 5y = -4 \end{cases} $

а) Проверим пару чисел $(-2; 1)$.

Подставляем $x = -2$ и $y = 1$ в оба уравнения системы.

Первое уравнение:

$x^2 + y^2 = (-2)^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$

Получили $5 = 5$. Это верное равенство.

Второе уравнение:

$6x + 5y = 6 \cdot (-2) + 5 \cdot 1 = -12 + 5 = -7$

Получили $-7 = -4$. Это неверное равенство.

Так как пара чисел $(-2; 1)$ не удовлетворяет второму уравнению системы, она не является решением всей системы.

Ответ: не является.

б) Проверим пару чисел $(1; -2)$.

Подставляем $x = 1$ и $y = -2$ в оба уравнения системы.

Первое уравнение:

$x^2 + y^2 = 1^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$

Получили $5 = 5$. Это верное равенство.

Второе уравнение:

$6x + 5y = 6 \cdot 1 + 5 \cdot (-2) = 6 - 10 = -4$

Получили $-4 = -4$. Это верное равенство.

Так как пара чисел $(1; -2)$ удовлетворяет обоим уравнениям системы, она является решением системы.

Ответ: является.

416. Решите графически систему уравнений $\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ 2x - y + 3 = 0. \end{cases}$

Чтобы решить систему уравнений графически, нужно построить графики для каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точек пересечения этих графиков и будут являться решением системы.

Построение графика уравнения $y - x^2 = 0$

Сначала преобразуем первое уравнение, выразив $y$ через $x$: $y = x^2$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$, а ее ветви направлены вверх. Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

- при $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$; точка $(-2, 4)$
- при $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$; точка $(-1, 1)$
- при $x = 0$, $y = 0^2 = 0$; точка $(0, 0)$
- при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$; точка $(1, 1)$
- при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$; точка $(2, 4)$
- при $x = 3$, $y = 3^2 = 9$; точка $(3, 9)$

Построение графика уравнения $2x - y + 3 = 0$

Теперь преобразуем второе уравнение, также выразив $y$ через $x$: $y = 2x + 3$. Это линейная функция, графиком которой является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек:

- при $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 + 3 = 3$; точка $(0, 3)$
- при $x = -1$, $y = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$; точка $(-1, 1)$

Нахождение решения системы

Построим параболу $y = x^2$ и прямую $y = 2x + 3$ в одной и той же системе координат. Мы увидим, что графики пересекаются в двух точках. Координаты этих точек пересечения и есть решение системы. По графику видно, что это точки с координатами $(-1, 1)$ и $(3, 9)$.

Проверка

Для уверенности в правильности решения выполним проверку, подставив координаты найденных точек в исходные уравнения системы.

Проверка для точки $(-1, 1)$:

$y - x^2 = 1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0$ (Верно)
$2x - y + 3 = 2(-1) - 1 + 3 = -2 - 1 + 3 = 0$ (Верно)

Проверка для точки $(3, 9)$:

$y - x^2 = 9 - 3^2 = 9 - 9 = 0$ (Верно)
$2x - y + 3 = 2(3) - 9 + 3 = 6 - 9 + 3 = 0$ (Верно)

Обе пары координат удовлетворяют обоим уравнениям, значит, решение найдено верно.

Ответ: $(-1, 1), (3, 9)$.

417. Покажите с помощью графиков, что система уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = x^2 - 6 \end{cases} $ имеет четыре решения, и найдите их.

Покажите с помощью графиков, что система уравнений имеет четыре решения

Рассмотрим графики уравнений данной системы: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y = x^2 - 6 \end{cases} $

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 25$, является уравнением окружности. Центр этой окружности находится в начале координат, точке $(0, 0)$, а ее радиус равен $R = \sqrt{25} = 5$. Окружность симметрична относительно осей $Ox$ и $Oy$.

Второе уравнение, $y = x^2 - 6$, является уравнением параболы. Ее график получается смещением графика стандартной параболы $y = x^2$ на 6 единиц вниз вдоль оси $Oy$. Вершина этой параболы находится в точке $(0, -6)$, а ее ветви направлены вверх. Парабола симметрична относительно оси $Oy$.

Для того чтобы определить количество решений системы, нужно найти число точек пересечения этих двух графиков.

Проанализируем взаимное расположение графиков:

• Вершина параболы $(0, -6)$ находится ниже самой нижней точки окружности $(0, -5)$.
• Ветви параболы направлены вверх и неограниченно простираются вверх и в стороны.
• Найдем точки на параболе, которые находятся внутри окружности. Например, при $x = \pm 3$ на параболе получаем $y = (\pm 3)^2 - 6 = 9 - 6 = 3$. Точки $(\pm 3, 3)$ принадлежат параболе. Проверим, лежат ли они внутри окружности: $3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$. Так как $18 < 25$, эти точки находятся внутри окружности.

Поскольку вершина параболы лежит ниже окружности, а некоторые ее точки (например, $(\pm 3, 3)$) лежат внутри окружности, ветви параболы, поднимаясь вверх, должны пересечь окружность. Так как оба графика симметричны относительно оси $Oy$, и парабола "проходит сквозь" окружность, будет две точки пересечения для $x > 0$ и две симметричные им точки пересечения для $x < 0$. Следовательно, графики пересекаются в четырех точках.

Ответ: Построение и анализ графиков показывают, что они пересекаются в четырех различных точках, следовательно, система уравнений имеет четыре решения.

Найдите их

Для нахождения точных координат точек пересечения решим систему уравнений аналитически. Проще всего выразить $x^2$ из второго уравнения и подставить в первое.

Из уравнения $y = x^2 - 6$ получаем $x^2 = y + 6$.

Подставим это выражение в уравнение окружности $x^2 + y^2 = 25$:

$(y + 6) + y^2 = 25$

Получаем квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 + y + 6 - 25 = 0$

$y^2 + y - 19 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-19) = 1 + 76 = 77$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня для $y$:

$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{77}}{2}$

$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{77}}{2}$

Теперь для каждого значения $y$ найдем соответствующие значения $x$ из соотношения $x^2 = y + 6$.

1. Для $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{77}}{2}$:

$x^2 = \frac{-1 + \sqrt{77}}{2} + 6 = \frac{-1 + \sqrt{77} + 12}{2} = \frac{11 + \sqrt{77}}{2}$

Поскольку $11 + \sqrt{77} > 0$, получаем два значения для $x$:

$x = \pm\sqrt{\frac{11 + \sqrt{77}}{2}}$

Это дает нам две точки решения: $(\sqrt{\frac{11 + \sqrt{77}}{2}}, \frac{-1 + \sqrt{77}}{2})$ и $(-\sqrt{\frac{11 + \sqrt{77}}{2}}, \frac{-1 + \sqrt{77}}{2})$.

2. Для $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{77}}{2}$:

$x^2 = \frac{-1 - \sqrt{77}}{2} + 6 = \frac{-1 - \sqrt{77} + 12}{2} = \frac{11 - \sqrt{77}}{2}$

Поскольку $11^2 = 121$ и $(\sqrt{77})^2 = 77$, то $11 > \sqrt{77}$, значит $11 - \sqrt{77} > 0$. Следовательно, мы также получаем два значения для $x$:

$x = \pm\sqrt{\frac{11 - \sqrt{77}}{2}}$

Это дает еще две точки решения: $(\sqrt{\frac{11 - \sqrt{77}}{2}}, \frac{-1 - \sqrt{77}}{2})$ и $(-\sqrt{\frac{11 - \sqrt{77}}{2}}, \frac{-1 - \sqrt{77}}{2})$.

Таким образом, мы нашли все четыре решения системы.

Ответ: $(\sqrt{\frac{11 + \sqrt{77}}{2}}, \frac{\sqrt{77}-1}{2})$, $(-\sqrt{\frac{11 + \sqrt{77}}{2}}, \frac{\sqrt{77}-1}{2})$, $(\sqrt{\frac{11 - \sqrt{77}}{2}}, -\frac{1 + \sqrt{77}}{2})$, $(-\sqrt{\frac{11 - \sqrt{77}}{2}}, -\frac{1 + \sqrt{77}}{2})$.

418. Решите графически систему уравнений

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 100, \\ y = \frac{1}{2}x^2 - 10. \end{cases}$

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Решениями системы будут координаты точек пересечения этих графиков.

Первое уравнение системы $x^2 + y^2 = 100$ является уравнением окружности. Стандартный вид уравнения окружности: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — центр окружности, а $R$ — её радиус. В данном случае уравнение можно переписать как $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 10^2$. Следовательно, это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 10$.

Второе уравнение системы $y = \frac{1}{2}x^2 - 10$ является уравнением параболы. Так как коэффициент при $x^2$ ($a = \frac{1}{2}$) положителен, ветви параболы направлены вверх. Найдем вершину параболы: абсцисса $x_0 = -\frac{b}{2a} = 0$, ордината $y_0 = \frac{1}{2}(0)^2 - 10 = -10$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, -10)$. Для более точного построения графика найдем несколько дополнительных точек, принадлежащих параболе: при $x = \pm 2$, $y = -8$; при $x = \pm 4$, $y = -2$; при $x = \pm 6$, $y = 8$.

Построим графики окружности и параболы в одной координатной плоскости. Графики пересекаются в трех точках, координаты которых и являются решением системы. Визуально определив точки пересечения, выполним проверку, подставив их координаты в оба уравнения системы.

Проверим предполагаемые точки пересечения: $(0, -10)$, $(6, 8)$ и $(-6, 8)$.
Для точки $(0, -10)$:
$x^2 + y^2 = 0^2 + (-10)^2 = 100$. (Верно)
$y = \frac{1}{2}x^2 - 10 \implies -10 = \frac{1}{2}(0)^2 - 10 \implies -10 = -10$. (Верно)
Для точки $(6, 8)$:
$x^2 + y^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. (Верно)
$y = \frac{1}{2}x^2 - 10 \implies 8 = \frac{1}{2}(6)^2 - 10 = 18 - 10 = 8$. (Верно)
Для точки $(-6, 8)$:
$x^2 + y^2 = (-6)^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. (Верно)
$y = \frac{1}{2}x^2 - 10 \implies 8 = \frac{1}{2}(-6)^2 - 10 = 18 - 10 = 8$. (Верно)
Все три точки удовлетворяют обоим уравнениям системы, следовательно, они являются её решениями.

Ответ: $(0, -10)$, $(6, 8)$, $(-6, 8)$.