Страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

429. Решите способом подстановки систему уравнений:

а) $\begin{cases} y^2 - x = -1, \\ x = y + 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x - 1, \\ x^2 - 2y = 26; \end{cases}$

в) $\begin{cases} xy + x = -4, \\ x - y = 6; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + y = 9, \\ y^2 + x = 29. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} y^2 - x = -1, \\ x = y + 3. \end{cases}$
Во втором уравнении переменная $x$ уже выражена через $y$. Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$y^2 - (y + 3) = -1$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:
$y^2 - y - 3 = -1$
$y^2 - y - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение равно $-2$. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя уравнение $x = y + 3$.
1) Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 + 3 = 5$.
2) Если $y_2 = -1$, то $x_2 = -1 + 3 = 2$.
Таким образом, мы получили две пары решений.

Ответ: $(5, 2), (2, -1)$.

б)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} y = x - 1, \\ x^2 - 2y = 26. \end{cases}$
В первом уравнении переменная $y$ выражена через $x$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$x^2 - 2(x - 1) = 26$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 2x + 2 = 26$
$x^2 - 2x - 24 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а произведение $-24$. Корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -4$.
Найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение $y = x - 1$.
1) Если $x_1 = 6$, то $y_1 = 6 - 1 = 5$.
2) Если $x_2 = -4$, то $y_2 = -4 - 1 = -5$.
Получаем две пары решений.

Ответ: $(6, 5), (-4, -5)$.

в)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} xy + x = -4, \\ x - y = 6. \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = y + 6$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(y + 6)y + (y + 6) = -4$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$y^2 + 6y + y + 6 = -4$
$y^2 + 7y + 10 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а произведение $10$. Корни: $y_1 = -2$ и $y_2 = -5$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ из уравнения $x = y + 6$.
1) Если $y_1 = -2$, то $x_1 = -2 + 6 = 4$.
2) Если $y_2 = -5$, то $x_2 = -5 + 6 = 1$.
Получаем две пары решений.

Ответ: $(4, -2), (1, -5)$.

г)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + y = 9, \\ y^2 + x = 29. \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 9 - y$
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$y^2 + (9 - y) = 29$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$y^2 - y + 9 - 29 = 0$
$y^2 - y - 20 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение $-20$. Корни: $y_1 = 5$ и $y_2 = -4$.
Найдем соответствующие значения $x$ из уравнения $x = 9 - y$.
1) Если $y_1 = 5$, то $x_1 = 9 - 5 = 4$.
2) Если $y_2 = -4$, то $x_2 = 9 - (-4) = 9 + 4 = 13$.
Получаем две пары решений.

Ответ: $(4, 5), (13, -4)$.

430. Решите систему уравнений, используя способ подстановки:

а) $\begin{cases} x = 3 - y, \\ y^2 - x = 39; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = 1 + x, \\ x + y^2 = -1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y = 14, \\ y - x = 8; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + y = 4, \\ y + xy = 6. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x = 3 - y, \\ y^2 - x = 39. \end{cases} $

В первом уравнении переменная $x$ уже выражена через $y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$y^2 - (3 - y) = 39$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 3 + y = 39$

$y^2 + y - 42 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его, используя, например, теорему Виета. Сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-42$. Легко подобрать корни: $y_1 = 6$ и $y_2 = -7$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя уравнение $x = 3 - y$.

1. Если $y_1 = 6$, то $x_1 = 3 - 6 = -3$. Получаем решение $(-3, 6)$.

2. Если $y_2 = -7$, то $x_2 = 3 - (-7) = 3 + 7 = 10$. Получаем решение $(10, -7)$.

Ответ: $(-3, 6), (10, -7)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y = 1 + x, \\ x + y^2 = -1. \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x + (1 + x)^2 = -1$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$x + (1 + 2x + x^2) = -1$

$x^2 + 3x + 1 = -1$

$x^2 + 3x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а произведение равно $2$. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение $y = 1 + x$.

1. Если $x_1 = -1$, то $y_1 = 1 + (-1) = 0$. Получаем решение $(-1, 0)$.

2. Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 1 + (-2) = -1$. Получаем решение $(-2, -1)$.

Ответ: $(-1, 0), (-2, -1)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y = 14, \\ y - x = 8. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 8 + x$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^2 + (8 + x) = 14$

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$x^2 + x + 8 - 14 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-6$. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 8 + x$.

1. Если $x_1 = -3$, то $y_1 = 8 + (-3) = 5$. Получаем решение $(-3, 5)$.

2. Если $x_2 = 2$, то $y_2 = 8 + 2 = 10$. Получаем решение $(2, 10)$.

Ответ: $(-3, 5), (2, 10)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 4, \\ y + xy = 6. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 4 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(4 - x) + x(4 - x) = 6$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4 - x + 4x - x^2 = 6$

$-x^2 + 3x + 4 = 6$

$-x^2 + 3x - 2 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а произведение равно $2$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 4 - x$.

1. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 4 - 1 = 3$. Получаем решение $(1, 3)$.

2. Если $x_2 = 2$, то $y_2 = 4 - 2 = 2$. Получаем решение $(2, 2)$.

Ответ: $(1, 3), (2, 2)$.

431. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} x - y = 3, \\ xy = -2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = 2,5, \\ xy = 1,5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y = -1, \\ x^2 + y^2 = 1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - y = 2, \\ x^2 - y^2 = 17. \end{cases}$

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - y = 3 \\ xy = -2 \end{cases} $. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$: $x = 3 + y$. Подставим это выражение во второе уравнение: $(3 + y)y = -2$. Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $y^2 + 3y + 2 = 0$. Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета: их сумма равна $-3$, а произведение равно $2$. Следовательно, $y_1 = -1$ и $y_2 = -2$. Найдем соответствующие значения $x$. При $y_1 = -1$, получаем $x_1 = 3 + (-1) = 2$. При $y_2 = -2$, получаем $x_2 = 3 + (-2) = 1$. Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(2; -1), (1; -2)$.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 2,5 \\ xy = 1,5 \end{cases} $. Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставим в него значения из системы: $t^2 - 2,5t + 1,5 = 0$. Для удобства вычислений умножим уравнение на 2: $2t^2 - 5t + 3 = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$. Корни уравнения равны $t_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1,5$ и $t_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$. Следовательно, пара чисел $\{x, y\}$ это $\{1; 1,5\}$.

Ответ: $(1; 1,5), (1,5; 1)$.

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = -1 \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} $. Возведем обе части первого уравнения в квадрат: $(x+y)^2 = (-1)^2$, что эквивалентно $x^2 + 2xy + y^2 = 1$. Из второго уравнения системы мы знаем, что $x^2 + y^2 = 1$. Подставим это значение в полученное равенство: $1 + 2xy = 1$. Отсюда следует, что $2xy = 0$, то есть $xy = 0$. Теперь исходная система эквивалентна следующей: $ \begin{cases} x + y = -1 \\ xy = 0 \end{cases} $. Из второго уравнения этой системы следует, что либо $x=0$, либо $y=0$. Если $x=0$, то из первого уравнения $y=-1$. Если же $y=0$, то $x=-1$.

Ответ: $(0; -1), (-1; 0)$.

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - y = 2 \\ x^2 - y^2 = 17 \end{cases} $. Второе уравнение можно преобразовать, используя формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Подставим в него значения из системы: $17 = 2 \cdot (x+y)$. Отсюда можно выразить сумму $x+y = \frac{17}{2} = 8,5$. Теперь мы имеем систему двух линейных уравнений: $ \begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 8,5 \end{cases} $. Сложим эти два уравнения: $(x - y) + (x + y) = 2 + 8,5$, что дает $2x = 10,5$. Отсюда $x = 5,25$. Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение $x-y=2$: $5,25 - y = 2$. Отсюда $y = 5,25 - 2 = 3,25$.

Ответ: $(5,25; 3,25)$.

432. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x + y = 8, \\ xy = -20; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y = 0,8, \\ xy = 2,4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 8, \\ x - y = 4; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ x + y = -3. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 8 \\ xy = -20 \end{cases} $$

Согласно теореме, обратной теореме Виета, переменные $x$ и $y$ являются корнями вспомогательного квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим в это уравнение известные значения суммы $x+y=8$ и произведения $xy=-20$:

$$t^2 - 8t - 20 = 0$$

Решим это уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$.

Корни уравнения:

$$t_1 = \frac{8 + \sqrt{144}}{2} = \frac{8 + 12}{2} = 10$$

$$t_2 = \frac{8 - \sqrt{144}}{2} = \frac{8 - 12}{2} = -2$$

Так как система симметрична относительно $x$ и $y$, то решениями являются пары $(t_1, t_2)$ и $(t_2, t_1)$.

Ответ: $(10, -2), (-2, 10)$.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = 0,8 \\ xy = 2,4 \end{cases} $$

Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:

$$x = y + 0,8$$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$$(y + 0,8)y = 2,4$$

$$y^2 + 0,8y - 2,4 = 0$$

Для удобства вычислений умножим уравнение на 10:

$$10y^2 + 8y - 24 = 0$$

Разделим все члены уравнения на 2:

$$5y^2 + 4y - 12 = 0$$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 16 + 240 = 256$.

Корни уравнения для $y$:

$$y_1 = \frac{-4 + \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 + 16}{10} = \frac{12}{10} = 1,2$$

$$y_2 = \frac{-4 - \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 - 16}{10} = \frac{-20}{10} = -2$$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$ из выражения $x = y + 0,8$:

При $y_1 = 1,2$, $x_1 = 1,2 + 0,8 = 2$.

При $y_2 = -2$, $x_2 = -2 + 0,8 = -1,2$.

Ответ: $(2; 1,2), (-1,2; -2)$.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 8 \\ x - y = 4 \end{cases} $$

В первом уравнении используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$$(x - y)(x + y) = 8$$

Из второго уравнения системы мы знаем, что $x - y = 4$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$$4(x + y) = 8$$

Отсюда находим $x+y$:

$$x + y = 2$$

Теперь мы имеем простую систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = 4 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x$:

$$(x+y) + (x-y) = 2 + 4$$

$$2x = 6$$

$$x = 3$$

Подставим найденное значение $x=3$ в уравнение $x+y=2$:

$$3 + y = 2$$

$$y = 2 - 3 = -1$$

Ответ: $(3, -1)$.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x + y = -3 \end{cases} $$

Возведем второе уравнение в квадрат:

$$(x+y)^2 = (-3)^2$$

$$x^2 + 2xy + y^2 = 9$$

Мы знаем из первого уравнения, что $x^2 + y^2 = 5$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$$5 + 2xy = 9$$

$$2xy = 9 - 5$$

$$2xy = 4$$

$$xy = 2$$

Теперь исходную систему можно заменить эквивалентной системой:

$$ \begin{cases} x + y = -3 \\ xy = 2 \end{cases} $$

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-3)t + 2 = 0$, то есть:

$$t^2 + 3t + 2 = 0$$

Это приведенное квадратное уравнение, корни которого легко найти подбором: произведение корней равно 2, а сумма равна -3. Этим условиям удовлетворяют числа -1 и -2.

Итак, $t_1 = -1$, $t_2 = -2$.

Решениями системы являются пары $(t_1, t_2)$ и $(t_2, t_1)$.

Ответ: $(-1, -2), (-2, -1)$.

433. Решите систему уравнений:

а) $$\begin{cases} y - 2x = 2, \\ 5x^2 - y = 1; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} x - 2y^2 = 2, \\ 3x + y = 7; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} x^2 - 3y^2 = 52, \\ y - x = 14; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 11, \\ x + 2y = 3; \end{cases}$$

д) $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 100, \\ 3x = 4y; \end{cases}$$

е) $$\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 32, \\ 2x - y = 8. \end{cases}$$

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} y - 2x = 2, \\ 5x^2 - y = 1; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 2x + 2$.

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы: $5x^2 - (2x + 2) = 1$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $5x^2 - 2x - 2 - 1 = 0$ $5x^2 - 2x - 3 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 + 8}{10} = \frac{10}{10} = 1$. $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 - 8}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в выражение $y = 2x + 2$:

При $x_1 = 1$: $y_1 = 2(1) + 2 = 4$. Первое решение: $(1; 4)$.

При $x_2 = -0.6$: $y_2 = 2(-0.6) + 2 = -1.2 + 2 = 0.8$. Второе решение: $(-0.6; 0.8)$.

Ответ: $(1; 4)$, $(-0.6; 0.8)$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - 2y^2 = 2, \\ 3x + y = 7; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 7 - 3x$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $x - 2(7 - 3x)^2 = 2$.

Раскроем скобки и упростим: $x - 2(49 - 42x + 9x^2) = 2$ $x - 98 + 84x - 18x^2 = 2$ $-18x^2 + 85x - 98 - 2 = 0$ $-18x^2 + 85x - 100 = 0$.

Умножим уравнение на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным: $18x^2 - 85x + 100 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = (-85)^2 - 4 \cdot 18 \cdot 100 = 7225 - 7200 = 25$.

Найдем корни: $x_1 = \frac{85 + \sqrt{25}}{2 \cdot 18} = \frac{85 + 5}{36} = \frac{90}{36} = \frac{5}{2} = 2.5$. $x_2 = \frac{85 - \sqrt{25}}{2 \cdot 18} = \frac{85 - 5}{36} = \frac{80}{36} = \frac{20}{9}$.

Найдем соответствующие значения $y$ из $y = 7 - 3x$:

При $x_1 = 2.5$: $y_1 = 7 - 3(2.5) = 7 - 7.5 = -0.5$. Первое решение: $(2.5; -0.5)$.

При $x_2 = \frac{20}{9}$: $y_2 = 7 - 3(\frac{20}{9}) = 7 - \frac{20}{3} = \frac{21}{3} - \frac{20}{3} = \frac{1}{3}$. Второе решение: $(\frac{20}{9}; \frac{1}{3})$.

Ответ: $(2.5; -0.5)$, $(\frac{20}{9}; \frac{1}{3})$.

в)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 3y^2 = 52, \\ y - x = 14; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = x + 14$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $x^2 - 3(x + 14)^2 = 52$.

Раскроем скобки и упростим: $x^2 - 3(x^2 + 28x + 196) = 52$ $x^2 - 3x^2 - 84x - 588 = 52$ $-2x^2 - 84x - 588 - 52 = 0$ $-2x^2 - 84x - 640 = 0$.

Разделим уравнение на $-2$: $x^2 + 42x + 320 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = 42^2 - 4 \cdot 1 \cdot 320 = 1764 - 1280 = 484$.

Найдем корни: $x_1 = \frac{-42 + \sqrt{484}}{2} = \frac{-42 + 22}{2} = \frac{-20}{2} = -10$. $x_2 = \frac{-42 - \sqrt{484}}{2} = \frac{-42 - 22}{2} = \frac{-64}{2} = -32$.

Найдем соответствующие значения $y$ из $y = x + 14$:

При $x_1 = -10$: $y_1 = -10 + 14 = 4$. Первое решение: $(-10; 4)$.

При $x_2 = -32$: $y_2 = -32 + 14 = -18$. Второе решение: $(-32; -18)$.

Ответ: $(-10; 4)$, $(-32; -18)$.

г)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 11, \\ x + 2y = 3; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$: $x = 3 - 2y$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $3(3 - 2y)^2 + 2y^2 = 11$.

Раскроем скобки и упростим: $3(9 - 12y + 4y^2) + 2y^2 = 11$ $27 - 36y + 12y^2 + 2y^2 = 11$ $14y^2 - 36y + 27 - 11 = 0$ $14y^2 - 36y + 16 = 0$.

Разделим уравнение на $2$: $7y^2 - 18y + 8 = 0$.

Решим квадратное уравнение относительно $y$. Вычислим дискриминант: $D = (-18)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 8 = 324 - 224 = 100$.

Найдем корни: $y_1 = \frac{18 + \sqrt{100}}{2 \cdot 7} = \frac{18 + 10}{14} = \frac{28}{14} = 2$. $y_2 = \frac{18 - \sqrt{100}}{2 \cdot 7} = \frac{18 - 10}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.

Найдем соответствующие значения $x$ из $x = 3 - 2y$:

При $y_1 = 2$: $x_1 = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1$. Первое решение: $(-1; 2)$.

При $y_2 = \frac{4}{7}$: $x_2 = 3 - 2(\frac{4}{7}) = 3 - \frac{8}{7} = \frac{21 - 8}{7} = \frac{13}{7}$. Второе решение: $(\frac{13}{7}; \frac{4}{7})$.

Ответ: $(-1; 2)$, $(\frac{13}{7}; \frac{4}{7})$.

д)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 100, \\ 3x = 4y; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$: $x = \frac{4}{3}y$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $(\frac{4}{3}y)^2 + y^2 = 100$.

Упростим уравнение: $\frac{16}{9}y^2 + y^2 = 100$ $\frac{16y^2 + 9y^2}{9} = 100$ $\frac{25y^2}{9} = 100$.

Решим уравнение относительно $y$: $25y^2 = 900$ $y^2 = \frac{900}{25} = 36$ $y = \pm\sqrt{36}$. $y_1 = 6$, $y_2 = -6$.

Найдем соответствующие значения $x$ из $x = \frac{4}{3}y$:

При $y_1 = 6$: $x_1 = \frac{4}{3}(6) = 4 \cdot 2 = 8$. Первое решение: $(8; 6)$.

При $y_2 = -6$: $x_2 = \frac{4}{3}(-6) = 4 \cdot (-2) = -8$. Второе решение: $(-8; -6)$.

Ответ: $(8; 6)$, $(-8; -6)$.

е)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 - y^2 = 32, \\ 2x - y = 8; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 2x - 8$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $2x^2 - (2x - 8)^2 = 32$.

Раскроем скобки и упростим: $2x^2 - (4x^2 - 32x + 64) = 32$ $2x^2 - 4x^2 + 32x - 64 = 32$ $-2x^2 + 32x - 64 - 32 = 0$ $-2x^2 + 32x - 96 = 0$.

Разделим уравнение на $-2$: $x^2 - 16x + 48 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 256 - 192 = 64$.

Найдем корни: $x_1 = \frac{16 + \sqrt{64}}{2} = \frac{16 + 8}{2} = \frac{24}{2} = 12$. $x_2 = \frac{16 - \sqrt{64}}{2} = \frac{16 - 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Найдем соответствующие значения $y$ из $y = 2x - 8$:

При $x_1 = 12$: $y_1 = 2(12) - 8 = 24 - 8 = 16$. Первое решение: $(12; 16)$.

При $x_2 = 4$: $y_2 = 2(4) - 8 = 8 - 8 = 0$. Второе решение: $(4; 0)$.

Ответ: $(12; 16)$, $(4; 0)$.

434. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 2xy - y = 7, \\ x - 5y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x^2 - xy = 33, \\ 4x - y = 17; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + 2y = 18, \\ 3x = 2y; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - y - 4 = 0, \\ x^2 + y^2 = 8,5; \end{cases}$

д) $\begin{cases} x^2 + 4y = 10, \\ x - 2y = -5; \end{cases}$

е) $\begin{cases} x - 2y + 1 = 0, \\ 5xy + y^2 = 16. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2xy - y = 7, \\ x - 5y = 2. \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $x$:
$x = 2 + 5y$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2(2 + 5y)y - y = 7$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$4y + 10y^2 - y = 7$
$10y^2 + 3y - 7 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-7) = 9 + 280 = 289 = 17^2$.
Найдем корни уравнения:
$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{289}}{2 \cdot 10} = \frac{-3 + 17}{20} = \frac{14}{20} = 0,7$.
$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{289}}{2 \cdot 10} = \frac{-3 - 17}{20} = \frac{-20}{20} = -1$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя формулу $x = 2 + 5y$:
1. Если $y_1 = 0,7$, то $x_1 = 2 + 5 \cdot 0,7 = 2 + 3,5 = 5,5$.
2. Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 2 + 5 \cdot (-1) = 2 - 5 = -3$.

Ответ: $(5,5; 0,7)$, $(-3; -1)$.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x^2 - xy = 33, \\ 4x - y = 17. \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 4x - 17$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2x^2 - x(4x - 17) = 33$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2x^2 - 4x^2 + 17x = 33$
$-2x^2 + 17x - 33 = 0$
$2x^2 - 17x + 33 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 33 = 289 - 264 = 25 = 5^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{17 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{17 + 5}{4} = \frac{22}{4} = 5,5$.
$x_2 = \frac{17 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{17 - 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя формулу $y = 4x - 17$:
1. Если $x_1 = 5,5$, то $y_1 = 4 \cdot 5,5 - 17 = 22 - 17 = 5$.
2. Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 4 \cdot 3 - 17 = 12 - 17 = -5$.

Ответ: $(5,5; 5)$, $(3; -5)$.

в)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + 2y = 18, \\ 3x = 2y. \end{cases} $
Из второго уравнения имеем $2y = 3x$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + 3x = 18$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 + 3x - 18 = 0$.
Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а произведение равно $-18$. Корнями являются числа $3$ и $-6$.
$x_1 = 3$, $x_2 = -6$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя формулу $y = \frac{3x}{2}$:
1. Если $x_1 = 3$, то $y_1 = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$.
2. Если $x_2 = -6$, то $y_2 = \frac{3 \cdot (-6)}{2} = \frac{-18}{2} = -9$.

Ответ: $(3; 4,5)$, $(-6; -9)$.

г)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - y - 4 = 0, \\ x^2 + y^2 = 8,5. \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x$:
$x = y + 4$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(y + 4)^2 + y^2 = 8,5$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y^2 + 8y + 16 + y^2 = 8,5$
$2y^2 + 8y + 16 - 8,5 = 0$
$2y^2 + 8y + 7,5 = 0$.
Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$4y^2 + 16y + 15 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 256 - 240 = 16 = 4^2$.
Найдем корни уравнения:
$y_1 = \frac{-16 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{-16 + 4}{8} = \frac{-12}{8} = -1,5$.
$y_2 = \frac{-16 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{-16 - 4}{8} = \frac{-20}{8} = -2,5$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя формулу $x = y + 4$:
1. Если $y_1 = -1,5$, то $x_1 = -1,5 + 4 = 2,5$.
2. Если $y_2 = -2,5$, то $x_2 = -2,5 + 4 = 1,5$.

Ответ: $(2,5; -1,5)$, $(1,5; -2,5)$.

д)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + 4y = 10, \\ x - 2y = -5. \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $x$:
$x = 2y - 5$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(2y - 5)^2 + 4y = 10$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$4y^2 - 20y + 25 + 4y = 10$
$4y^2 - 16y + 15 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 256 - 240 = 16 = 4^2$.
Найдем корни уравнения:
$y_1 = \frac{16 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{16 + 4}{8} = \frac{20}{8} = 2,5$.
$y_2 = \frac{16 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{16 - 4}{8} = \frac{12}{8} = 1,5$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя формулу $x = 2y - 5$:
1. Если $y_1 = 2,5$, то $x_1 = 2 \cdot 2,5 - 5 = 5 - 5 = 0$.
2. Если $y_2 = 1,5$, то $x_2 = 2 \cdot 1,5 - 5 = 3 - 5 = -2$.

Ответ: $(0; 2,5)$, $(-2; 1,5)$.

е)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - 2y + 1 = 0, \\ 5xy + y^2 = 16. \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 2y - 1$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$5(2y - 1)y + y^2 = 16$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$10y^2 - 5y + y^2 = 16$
$11y^2 - 5y - 16 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-16) = 25 + 704 = 729 = 27^2$.
Найдем корни уравнения:
$y_1 = \frac{5 + \sqrt{729}}{2 \cdot 11} = \frac{5 + 27}{22} = \frac{32}{22} = \frac{16}{11}$.
$y_2 = \frac{5 - \sqrt{729}}{2 \cdot 11} = \frac{5 - 27}{22} = \frac{-22}{22} = -1$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя формулу $x = 2y - 1$:
1. Если $y_1 = \frac{16}{11}$, то $x_1 = 2 \cdot \frac{16}{11} - 1 = \frac{32}{11} - \frac{11}{11} = \frac{21}{11}$.
2. Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 2 \cdot (-1) - 1 = -2 - 1 = -3$.

Ответ: $(\frac{21}{11}; \frac{16}{11})$, $(-3; -1)$.