Номер 430, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

430. Решите систему уравнений, используя способ подстановки:

а) $\begin{cases} x = 3 - y, \\ y^2 - x = 39; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = 1 + x, \\ x + y^2 = -1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y = 14, \\ y - x = 8; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + y = 4, \\ y + xy = 6. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x = 3 - y, \\ y^2 - x = 39. \end{cases} $

В первом уравнении переменная $x$ уже выражена через $y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$y^2 - (3 - y) = 39$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 3 + y = 39$

$y^2 + y - 42 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его, используя, например, теорему Виета. Сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-42$. Легко подобрать корни: $y_1 = 6$ и $y_2 = -7$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя уравнение $x = 3 - y$.

1. Если $y_1 = 6$, то $x_1 = 3 - 6 = -3$. Получаем решение $(-3, 6)$.

2. Если $y_2 = -7$, то $x_2 = 3 - (-7) = 3 + 7 = 10$. Получаем решение $(10, -7)$.

Ответ: $(-3, 6), (10, -7)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y = 1 + x, \\ x + y^2 = -1. \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x + (1 + x)^2 = -1$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$x + (1 + 2x + x^2) = -1$

$x^2 + 3x + 1 = -1$

$x^2 + 3x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а произведение равно $2$. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение $y = 1 + x$.

1. Если $x_1 = -1$, то $y_1 = 1 + (-1) = 0$. Получаем решение $(-1, 0)$.

2. Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 1 + (-2) = -1$. Получаем решение $(-2, -1)$.

Ответ: $(-1, 0), (-2, -1)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y = 14, \\ y - x = 8. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 8 + x$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^2 + (8 + x) = 14$

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$x^2 + x + 8 - 14 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-6$. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 8 + x$.

1. Если $x_1 = -3$, то $y_1 = 8 + (-3) = 5$. Получаем решение $(-3, 5)$.

2. Если $x_2 = 2$, то $y_2 = 8 + 2 = 10$. Получаем решение $(2, 10)$.

Ответ: $(-3, 5), (2, 10)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 4, \\ y + xy = 6. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 4 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(4 - x) + x(4 - x) = 6$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4 - x + 4x - x^2 = 6$

$-x^2 + 3x + 4 = 6$

$-x^2 + 3x - 2 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а произведение равно $2$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 4 - x$.

1. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 4 - 1 = 3$. Получаем решение $(1, 3)$.

2. Если $x_2 = 2$, то $y_2 = 4 - 2 = 2$. Получаем решение $(2, 2)$.

Ответ: $(1, 3), (2, 2)$.