Номер 426, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

426. При каких значениях $a$ решением системы уравнений

$$ \begin{cases} x + y = a + 1, \\ 3x - y = a - 1 \end{cases} $$

является пара положительных чисел?

Чтобы найти значения параметра $a$, при которых решение системы уравнений является парой положительных чисел, сначала решим данную систему относительно переменных $x$ и $y$.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = a + 1, \\ 3x - y = a - 1 \end{cases} $

Воспользуемся методом алгебраического сложения, чтобы исключить переменную $y$. Сложим первое уравнение со вторым:

$(x + y) + (3x - y) = (a + 1) + (a - 1)$

Приводим подобные слагаемые:

$4x = 2a$

Отсюда выражаем $x$:

$x = \frac{2a}{4} = \frac{a}{2}$

Теперь подставим найденное выражение для $x$ в первое уравнение системы ($x + y = a + 1$), чтобы найти $y$:

$\frac{a}{2} + y = a + 1$

Выражаем $y$:

$y = a + 1 - \frac{a}{2}$

$y = \frac{2a}{2} - \frac{a}{2} + 1 = \frac{a}{2} + 1 = \frac{a + 2}{2}$

Таким образом, решение системы уравнений: $x = \frac{a}{2}$ и $y = \frac{a + 2}{2}$.

По условию задачи, $x$ и $y$ должны быть положительными числами, то есть $x > 0$ и $y > 0$. Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{a}{2} > 0 \\ \frac{a + 2}{2} > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1) Из неравенства $\frac{a}{2} > 0$ следует, что $a > 0$.

2) Из неравенства $\frac{a + 2}{2} > 0$ следует, что $a + 2 > 0$, откуда $a > -2$.

Теперь нам нужно найти значения $a$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $a > 0$ и $a > -2$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал, в котором выполняются оба неравенства. Если число больше 0, оно автоматически больше -2. Следовательно, общее решение — это $a > 0$.

Ответ: при $a > 0$