Номер 421, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

421. Изобразив схематически графики уравнений, выясните, имеет ли решения система уравнений и если имеет, то сколько:

а) $\begin{cases} y = x^3, \\ xy = -12; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^2 + 8, \\ y = -x^2 + 12; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = x^2 + 1, \\ xy = 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ (x - 10)^2 + y^2 = 16. \end{cases}$

а)

Первое уравнение системы — $y = x^3$. Его график — кубическая парабола, которая проходит через начало координат и располагается в I и III координатных четвертях.

Второе уравнение системы — $xy = -12$, или $y = -12/x$. Его график — гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

Поскольку график кубической параболы находится в I и III четвертях, а график гиперболы — во II и IV, они не имеют общих точек пересечения. Алгебраически, подставив $y$ из первого уравнения во второе, получаем $x \cdot x^3 = -12$, то есть $x^4 = -12$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как четвёртая степень любого действительного числа неотрицательна.

Ответ: решений нет.

б)

Первое уравнение системы — $y = x^2 + 8$. Его график — парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 8 единиц вверх по оси OY. Её ветви направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 8)$.

Второе уравнение системы — $y = -x^2 + 12$. Его график — парабола, полученная отражением графика $y=x^2$ относительно оси OX и сдвигом на 12 единиц вверх. Её ветви направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 12)$.

Так как одна парабола с вершиной в $(0, 8)$ открывается вверх, а другая с вершиной в $(0, 12)$ — вниз, очевидно, что они пересекаются. Чтобы найти количество точек пересечения, приравняем правые части уравнений:
$x^2 + 8 = -x^2 + 12$
$2x^2 = 4$
$x^2 = 2$
Уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$. Каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$. Следовательно, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: 2 решения.

в)

Первое уравнение системы — $y = x^2 + 1$. Его график — парабола с вершиной в точке $(0, 1)$, ветви которой направлены вверх. График полностью лежит выше оси OX (в I и II четвертях).

Второе уравнение системы — $xy = 3$, или $y = 3/x$. Его график — гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

Пересечение графиков возможно только в I координатной четверти, где обе функции существуют ($x>0, y>0$). Подставим $y$ из второго уравнения в первое:
$3/x = x^2 + 1$
$3 = x^3 + x$
$x^3 + x - 3 = 0$
Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + x - 3$. Её производная $f'(x) = 3x^2 + 1$ всегда положительна, значит, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Поэтому она может пересекать ось OX (то есть $f(x)=0$) не более одного раза. Так как $f(1) = 1+1-3 = -1 < 0$ и $f(2) = 8+2-3 = 7 > 0$, то на интервале $(1, 2)$ существует единственный корень. Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: 1 решение.

г)

Первое уравнение системы $x^2 + y^2 = 9$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r_1 = \sqrt{9} = 3$.

Второе уравнение системы $(x-10)^2 + y^2 = 16$ — это уравнение окружности с центром в точке $(10, 0)$ и радиусом $r_2 = \sqrt{16} = 4$.

Две окружности пересекаются, если расстояние между их центрами меньше суммы их радиусов и больше модуля их разности. Расстояние $d$ между центрами $(0, 0)$ и $(10, 0)$ равно $d = \sqrt{(10-0)^2 + (0-0)^2} = 10$. Сумма радиусов $r_1 + r_2 = 3 + 4 = 7$. Поскольку расстояние между центрами $d = 10$ больше, чем сумма радиусов $r_1 + r_2 = 7$, окружности не пересекаются и даже не касаются. Они расположены отдельно друг от друга.

Ответ: решений нет.